התמרת כוכב משולש

התמרת כוכב משולש היא שיטה מתמטית שנועדה לפשט את הניתוח של מעגלים חשמליים. השם התקבל מהצורה של תרשים המעגל אשר נראה כמו האות Y או האות היוונית דלתא (אות) (יוונית: Δ). התאוריה שמאחורי שיטה זו פורסמה על ידי ארתור אדווין קינלי (אנגלית: Arthur Edwin Kennelly) בשנת 1899 נעשה שימוש נרחב בשיטה זו בעיקר בניתוח מעגליי חשמל תלת פאזי.

התמרת כוכב בסיסית

המעגל החשמלי בתצורת Y ובתצורת Δ.

ההתמרה משמשת להקמת מעגל חשמלי שקול למעגל בעל שלושה מסופים. כאשר שלושה רכיבים מחוברים לאותו צומת ואף אחד מהם לא משמש כמקור אז הצומת מתבטל על ידי הפיכת העכבות. בשביל קבלת שקילות, העכבה החשמלית בין כל זוג מסופים חייבת להיות זהה לשני המעגלים (לפני ההתמרה ואחרי ההתמרה). הנוסחאות הנתונות כאן נכונות הן עבור עכבות מרוכבות והן עבור עכבות ממשיות.

נוסחאות עבור התמרה מתצורת Δ לתצורת Y

הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה של מסוף מסוים בתצורת Y של המעגל תוך שימוש בעכבות הנתונות מתוך תצורת Δ, ולהפך. עבור עכבות $Ry,R_{1},R_{2}$ עכבת מסוף y 0 היא:

$R_{y}={\frac {R_{1}R_{2}}{\sum R_{\Delta }}}$

כאשר ${\sum R_{\Delta }}$ הוא סכום כל העכבות בתצורת Δ. בצורה מפורשת:

${\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{2}&={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{3}&={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}$

משוואות עבור טרנספורמציה מ Y ל Δ

הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה $R_{\Delta }$ בתצורת Δ על ידי הנוסחה:

$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}$

כאשר $Rp$ הוא סכום מכפלת כל זוג עכבות בתצורת Y, כלומר: $R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}$. $R_{\mathrm {opposite} }$ הוא העכבה בתצורת ה Y בחיבור לצומת אשר אליו העכבה אותה אנחנו מעוניינים לחשב אינה מתחברת. ובצורה מפורשת:

${\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\R_{b}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\R_{c}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}$

ניתוח מעגל: שיטה לפתרון תצורת Δ על ידי המרה לתצורת Y

מעגל שיש בו שילוב של שתי התצורות המדוברות צריך להיות מומר לתצורת Y. על ידי שינוי מתוצרת Δ לתצורת Y, ניתן לנתח כל אלמנט במעגל בנפרד. שיטה זו נועדה לפשט את ניתוח המעגל. (הערה: ההתנהגות ההרמונית של המעגל המקורי נשמרת). ההמרה מתצורת Δ לתצורת Y היא כך:

${\begin{aligned}V_{\text{LL}}={\sqrt {3}}V_{\text{LN}}\angle 30\\I_{\text{LL}}={\sqrt {3}}I_{\text{LN}}\angle -30\\Z_{\Delta }/3=Z_{\text{Y}}\\S_{3\Phi }=|S_{3\Phi }|={\sqrt {3}}V_{\text{LL}}I_{\text{L}}=3V_{\text{LN}}I_{\text{L}}\\\end{aligned}}$

פישוט רשת נגדים

רשת נגדים בין שני מסופים ניתנת לפישוט לנגד שווה ערך (ובאופן כללי יותר הדבר מתקיים גם לעכבות). שיטת חיבור נגדים בטור ושיטת חיבור נגדים במקביל הן כלים בסיסיים לפישוט רשת נגדים, אך עבור רשת הנגדים המתוארת בתמונה הן לא יספיקו. ניתן לעשות שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת לפשט את רשת הנגדים כמתואר בתמונה.

התמרה של רשת נגדים תוך שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת להיפטר מצומת D.

התמרת כוכב משולש ההפוכה (מתצורת Δ לתצורת Y) אשר מוסיפה צומת, נועדה גם כן על לפשט את המעגל.

שימוש בהתמרת כוכב משולש ההפוכה על מנת לפשט רשת נגדים.

הדגמה

התמרה מתצורת Δ לתצורת Y

תצורת Δ ותצורת Y עם שמות המשתנים שבהם משתמשים בהדגמה.

כדי לקשר את {$R_{a},R_{b},R_{c}$} מתצורת Δ ל {$R_{1},R_{2},R_{3}$} מתצורת Y, משווים את העכבה בין שני צמתים בתצורת Δ לעכבה המתאימה בין שני צמתים בתצורת Y, חוזרים על התהליך עבור כל זוג צמתים. העכבה בין הצמתים נקבעת כאשר הצומת האחר לא מחובר למעגל ובמקומו יש קצר. העכבה בין N_1 ו N_2 כאשר N_3 מקוצר, בתצורת Δ:

${\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{c}\parallel (R_{a}+R_{b})=\\&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{c}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{b}}}}}\\&={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}$

כדי להקל על הרישום נקרא לסכום {$R_{T}$}, {$R_{A},R_{B},R_{C}$}:

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

לכן:

$R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$

העכבה המתאימה בין N_1 ו N_2 בתצורת Y, היא:

$R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}$

נשווה בין העכבות שהתקבלו:

$R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{\Delta }(N_{1},N_{2})$

לכן מתקבל:

$R_{1}+R_{2}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}$   (1)

נחזור על התהליך עבור $R(N_{2},N_{3})$:

$R_{2}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}$   (2)

נחזור על התהליך שוב עבור $R(N_{1},N_{3})$:

$R_{1}+R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}.$   (3)

מכאן ניתן לקבוע את הערכים {$R_{1},R_{2},R_{3}$} על ידי צירוף לינארי. למשל מחיבור משוואות (1) ו (3) וחיסור משוואה (2) נקבל:

$R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}+{\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}$

לכן:

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}.$

כאשר,

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$

לכן מתקבל:

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (4)

$R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}$ (5)

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}$ (6)

התמרה מתצורת Y לתצורת Δ

נקבע ש:

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$.

אנחנו יכולים לכתוב את נוסחאות המעבר מתצורת Y לתוצרת Δ כך:

$R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}$.

ומתצורת Δ לתצורת Y כך:

$R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$   (1)

$R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}$   (2)

$R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}$   (3)

מהכפלת כל זוג משוואות, מתקבל:

$R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}$   (4)

$R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (5)

$R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (6)

נסכום את המשוואות שהתקבלו:

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}+R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}$   (7)

נוציא גורם משותף במונה {$R_{a}R_{b}R_{c}$}:

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}$

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}$ (8)

נחלק את משוואה (8) במשוואות (1),(2) ו (3) בנפרד. חלוקה במשוואה (1):

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{b}R_{c}}}$

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{a}$   (9)

חלוקה במשוואה (2):

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{c}}}$

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}}=R_{b}$   (10)

חלוקה במשוואה (3):

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}}$

${\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}}=R_{c},$   (11)

משוואות (9), (10) ו (11) שהתקבלו מקשרות בין תצורת Y לתצורת Δ.

ראו גם

• זרם חילופין
• מעגל חשמלי
• ניקולה טסלה
• נגד

קישורים חיצוניים

• William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, מסת"ב 0-07-061285-4