סדרת פונקציות
סדרת פונקציות היא סדרה של פונקציות. לסדרות של פונקציות יישומים במספר תחומים במתמטיקה, לרבות מספר תחומים באנליזה - חשבון אינפיניטסימלי, אנליזה מרוכבת, אנליזת פורייה, תורת המידה ועוד.
הגדרה
באופן פורמלי, סדרה של פונקציות היא פונקציה מקבוצת הטבעיים אל מרחב פונקציות מסוים, המתאימה לכל מספר טבעי פונקציה, שמסמנים . כך מתקבלת סדרה אינסופית של פונקציות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n=1}^\infty=f_1,f_2,f_3,\ldots} .
למשל, נגדיר את הסדרה הבאה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n:\N\to\R^\R} , על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n(x)=x^{n-1}} . זוהי למעשה סדרת המונומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,x,x^2,x^3,\ldots} .
סוגי התכנסות
בסדרות פונקציות ממשיות, בניגוד לסדרות מספרים ממשיים, יש מספר סוגי התכנסות: התכנסות נקודתית, התכנסות במידה שווה, התכנסות בנורמה, התכנסות במידה.
התכנסות נקודתית
ערך מורחב – התכנסות נקודתית
אומרים שהסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n=1}^\infty} מתכנסת נקודתית ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=x_0} אם הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl\{f_n(x_0)\bigr\}_{n=1}^\infty} (שימו לב שמדובר בסדרת מספרים ממשיים) מתכנסת.
אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת נקודתית בכל תחום הגדרתן אם לכל נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} בתחום זה, הסדרה מתכנסת.
בלשון פורמלית: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m,n>N} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl|f_n(x)-f_m(x)\bigr|<\varepsilon} .
זהו למעשה קריטריון קושי להתכנסות הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl\{f_n(x)\bigr\}_{n=1}^\infty} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} . בגלל שמרחב הממשיים הוא שלם, סדרת קושי היא גם סדרה מתכנסת.
את פונקציית הגבול, נסמן ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} והיא מוגדרת באופן הבא
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x\in A:f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)}
שאלות מרכזיות בחשבון אינפיניטסימלי ואנליזה מרוכבת הן חקר פונקציית הגבול בהינתן תכונות על פונקציות הסדרה.
התכנסות במידה שווה
- ערך מורחב – התכנסות במידה שווה
זהו סוג חזק יותר של התכנסות סדרת פונקציות. בעוד שבהתכנסות נקודתית כל נקודה יכולה (ליתר דיוק, בכל נקודה סדרת הפונקציות יכולה) להתכנס בקצב משלה, הרי שבהתכנסות במידה שווה, קצב ההתכנסות חייב להיות אחיד לכל הנקודות בתחום ההגדרה. במלים אחרות, לכל קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N>0} גדול מספיק שעבורו כל הפונקציות בסדרה שהאינדקס שלהן גדול ממנו מרוחקות עד כדי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} מהערכים שבפונקציית הגבול בכל הנקודות בתחום ההגדרה. כלומר: במילים אחרות, החסם העליון של הפרשי הפונקציות שואף לאפס כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} שואף לאינסוף.
באופן פורמלי: הסדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n=1}^\infty} מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול בקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} אם ורק אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in A} ולכל מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl|f_n(x)-f(x)\bigr|<\varepsilon} .
דרישה שקולה לכך היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in A}\bigl|f_n(x)-f(x)\bigr|=0} .
התכנסות במידה שווה היא למעשה התכנסות בנורמה כאשר הנורמה כאן היא נורמת סופרמום: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|g\|\equiv\sup_{x\in A}|g(x)|} . לכן התכנסות זאת נקראת גם "התכנסות בנורמת סופרמום", או התכנסות בנורמת אינסוף.
התכנסות בממוצע
זהו סוג התכנסות חלש יותר מהתכנסות במידה שווה, ושונה מהתכנסות נקודתית. זוהי למעשה התכנסות תחת סימן האינטגרל ולכן היא מחליקה פונקציות ואף מתעלמת מסינגולריות שמידתן היא אפס.
נאמר שסדרת פונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n=1}^\infty} מתכנסת ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בממוצע אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_A\bigl|f_n(x)-f(x)\bigr|dx=0} .
בצורה יותר ריגורוזית, מגדירים את האינטגרל כאן באמצעות אינטגרל לבג המבוסס על תורת המידה.
הגדרה קרובה היא התכנסות בריבוע הממוצע, כלומר סדרת פונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n=1}^\infty} מתכנסת ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בריבוע הממוצע אם .
למעשה, שתי ההגדרות נובעת מהתכנסות בנורמה במרחב Lp, שהוא מרחב בנך יסודי באנליזה פונקציונלית.
התכנסות חלשה
יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} מרחב מרחב בנך פונקציונלי, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}_{n=1}^\infty\subset F} סדרת פונקציות. נאמר כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n\stackrel{w}{\to}f} – מתכנסת באופן חלש – אם לכל פונקציונל רציף וחסום מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} , כלומר: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi\in F^*} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\phi(f_n)=\phi(f)} . זוהי למעשה התכנסות בטופולוגיה חלשה.