הקירוב הפראקסיאלי

השגיאות היחסיות של הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות עבור קירוב זוויות קטנות. משתמשים בקירוב מימין

באופטיקה גאומטרית הקירוב הפראקסיאלי הוא קירוב זווית קטנה. שימושיו הידועים הם טכניקת ray tracing (מעקב אחר קרני אור במערכת אופטית, כגון עדשה) ועקיפת פרנל.

קרן פראקסיאלית היא קרן שהזווית (ברדיאנים) בינה לבין הציר האופטי של המערכת קטנה, כלומר $\theta <<1$ במקרה זה, מקרבים עבור הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות בהתקדמות הקרן:

${\begin{aligned}\sin(\theta )\approx \theta \\\cos(\theta )\approx 1\\\tan(\theta )\approx \theta \end{aligned}}$

זהו קירוב עד לסדר ראשון בטור טיילור של הפונקציות, כלומר קירוב לינארי.

לעיתים, הקירוב של פונקציות אלו לסדר שני גם נקרא פראקסיאלי. הקירוב של פונקציות הסינוס והטנגנס לא משתנה, אך לפונקציית הקוסינוס נוסיף את האיבר מסדר שני של טור הטיילור המתאים ונקבל:

$\cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$

הקירוב מסדר שני מגיע לדיוק של 0.5% בזוויות של עד 10 מעלות, אך ככל שהזווית גדלה הקירוב נעשה פחות מדויק בצורה ניכרת (ראה תמונה).

מטריצות העברה של רכיבים אופטיים (מטריצות ABCD)

לעיתים, כאשר רוצים לבצע מעקב קרניים (Ray Tracing) בזוויות קטנות, ניתן להשתמש בקירוב הפראקסיאלי כדי לעקוב אחר הקרניים שמקיימות אותו. כאשר נרצה לתאר התקדמות של הקרניים במרחב, נתאר את המצב של הקרן בנקודה על ידי הווקטור:

${\binom {x}{\theta }}$

כאשר $x$ מתאר את מרחק הקרן מהציר האופטי, ו־$\theta$ מתאר את הזווית בינה לבין הציר האופטי. כיוון שמדובר בקירוב זוויות קטנות, נוכל לתאר מערכות אופטיות כלינאריות, כלומר באמצעות מטריצה (המכונה מטריצת ABCD), באופן הבא:

${\binom {x_{2}}{\theta _{2}}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\binom {x_{1}}{\theta _{1}}}$

מטריצות העברה נפוצות

בטבלה הבאה מופיעות מטריצות העברה נפוצות:

תיאור	המטריצה	הערות
התקדמות במרחב למרחק $d$	${\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}$
שבירה של עדשה	${\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{pmatrix}}$	$f$ מוקד העדשה
שבירת סנל על מישור הניצב לציר האופטי	${\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$	$n_{1}$ מקדם השבירה ההתחלתי, $n_{2}$ מקדם השבירה הסופי
שבירת סנל במעבר קעור/קמור	${\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}$	$n_{1}$ מקדם השבירה ההתחלתי, $n_{2}$ מקדם השבירה הסופי, $R$ רדיוס עקמומיות. אם המעבר קמור (מרכז העקמומיות הוא לאחר המעבר), $R>0$
החזרה ממראה מישורית	${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	הופכים את כיוון הציר האופטי
החזרה ממראה קעורה/קמורה	${\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R}}&1\end{pmatrix}}$	הופכים את כיוון הציר האופטי, $R$ הוא רדיוס המראה, והוא חיובי עבור מראה קעורה

עקיפת פרנל

עקיפת פרנל היא תבנית העקיפה המתקבלת כאשר גל עובר דרך מחסום בעל מפתח, על מסך שניצב בעברו האחר של המחסום במרחק גדול מספיק. בעקיפת פרנל משתמשים בקירוב הפראקסיאלי כדי לדעת כיצד הקרניים יתקדמו בקירוב של זוויות קטנות, כלומר באזור שנקרא "השדה הקרוב". בקירוב הנ"ל, תבנית העקיפה המתקבלת היא קונוולוציה של תבנית הכניסה עם פונקציית התקדמות של גל נקודתי במרחב, וזוהי אחת ההצגות של עקרון הויגנס.