החלק השברי

הגרף של פונקציית החלק השברי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

החלק השברי של מספר ממשי הוא המרחק בין המספר למספר השלם הקרוב ביותר שקטן או שווה לו.

מקובל לסמן את החלק השברי של $x$ בסימונים $\{x\},\langle x\rangle ,{\text{frac}}(x)$ .

$x$	$\{x\}$
$3$	$0$
$4.7$	$0.7$
$-1.2$	$0.8$

החלק השברי הוא תמיד מספר בקטע $[0,1)$ . הפונקציה מחזירה לכל מספר נציג ששקול לו מודולו 1.

כל מספר ממשי הוא הסכום של הערך השלם שלו והחלק השברי שלו: $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$ .

במקרים רבים נוח לחשוב על פונקציית החלק השברי כפונקציה המחזירה זווית. אם נחשוב על מספר ממשי $x$ כמייצג מספר של סיבובים סביב מעגל החל מנקודה כלשהי, אזי $T(x)=2\pi \cdot \{x\}$ היא הזווית (ברדיאנים) ביחס לנקודת ההתחלה שבה נעצר. לפי נוסחת אוילר: $T(x)=\arg {(e^{2\pi ix})}$ . זוהי העתקת כיסוי של הישר הממשי על המעגל (הישר הוא מרחב כיסוי אוניברסלי של המעגל).

הסתכלות זו מעוררת שאלות מעניינות. למשל כיצד מתפלג הערך השברי של סדרות מסוימות על פני המעגל. משפט הפילוג האחיד קובע שלכל מספר אי-רציונלי $x$ , הסדרה $a_{n}=T(nx)$ (המייצגת קפיצות אחידות בזווית אי-רציונלית) מתפלגת באופן אחיד על פני המעגל.

מימוש בשפות תכנות

שפות תכנות אחדות כוללות פונקציה לקבלת החלק השברי של מספר. בפסקל עושה זאת הפונקציה frac, ובשפת C++ עושה זאת הפונקציה modf. בשפות תכנות שבהן אין פונקציה כזו, ניתן ליצור אותה בקלות באמצעות הפונקציה לקבלת החלק השלם של מספר. דוגמה בשפת PL/I:‏ Y = X - FLOOR(X).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא החלק השברי בוויקישיתוף

• Floor and Ceiling Functions, MathsIsFun.com