המשפט היפני למצולעים ציקליים

סכום הרדיוסים של המעגלים הירוקים שווה לסכום הרדיוסים של המעגלים האדומים.

בגאומטריה, המשפט היפני למצולעים ציקליים קובע כי לא משנה כיצד מחלקים מצולע ציקלי למשולשים על ידי אלכסונים לא נחתכים, סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים הוא קבוע. בכיוון ההפוך, אם סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים אינו תלוי באופן הטריאנגולציה, אז המצולע הוא ציקלי. המשפט היפני למצולעים ציקליים נובע מהמשפט היפני למרובעים ציקליים (שמשמש מקרה בסיס עבורו), שבתורו נובע ממשפט קרנו.

משפט זה נקרא כך משום שהוא התגלה חרוט על לוח עץ (Sangaku) במקדש במחוז יאמאגטה שביפן, בשנת 1880.

הוכחה

המשפט היפני למרובעים ציקליים

המשפט ניתן להוכחה באמצעות הוכחת מקרה פרטי שלו: לא משנה איך מחלקים מרובע ציקלי למשולשים (ישנן שתי דרכים לעשות זאת - כל אחת מתאימה לאחד משני האלכסונים של המרובע), סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים במשולשים הוא זהה. הוכחה סטנדרטית של המקרה המרובע עושה שימוש במשפט קרנו: אם נסמן את רדיוסי שני המעגלים החסומים המתקבלים באופן הטריאנגולציה הראשון ב-$r_{1},r_{3}$ ואת רדיוסי שני המעגלים החסומים באופן הטריאנגולציה השני ב-$r_{2},r_{4}$, אז מתקיים לפי משפט קרנו:

$r_{1}+r_{3}=(r_{1}+R)+(r_{3}+R)-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}+OD_{1}-OD_{1}-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}-2R$

$r_{2}+r_{4}=(r_{2}+R)+(r_{4}+R)-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}+OD_{2}-OD_{2}-2R=\sum _{i=1}^{i=4}OS_{i}-2R$

כאשר בקשרים אלו הסימן $OS_{i}$ הוא מרחק מרכז המעגל החוסם את המרובע O מהצלע ה-i ואילו $OD_{1},OD_{2}$ הם מרחקי מרכז המעגל החוסם מכל אחד מאלכסוני המרובע. מכיוון ש-O נמצא בתוך אחד מהמשולשים ומחוץ למשולש השני (או על אחד האלכסונים, ובמקרה זה המרחק מהאלכסון מתאפס), אז מיישום משפט קרנו נובע שהמרחק בין O לאלכסון מופיע פעם אחת עם סימן חיובי ופעם עם אחת סימן שלילי, כך שמקבלים את הביטויים לעיל, המראים כי ערך הסכומים $r_{1}+r_{3}$ ו-$r_{2}+r_{4}$ הוא זהה.

הוכחת המקרה הכללי

לאחר שמוכיחים את המקרה המרובע, המקרה הכללי של מצולע ציקלי נובע כמסקנה כמעט מיידית. הסיבה לכך היא שניתן לעבור מטריאנגולציה של מצולע ציקלי לאחרת באמצעות סדרה סופית של החלפות אלכסונים ב"מרובעים חלקיים" חלקיים למצולע הנתון ("מרובע חלקי" נוצר על ידי בחירה שרירותית של ארבעה מקודקודי המצולע). מכיוון שמהמקרה המרובע נובע שכל צעד כזה משמר את סכום הרדיוסים של המעגלים החסומים, מקבלים שסכום רדיוסי המעגלים החסומים קבוע ואינו תלוי בבחירת הטריאנגולציה הספציפית של המצולע הציקלי.

ראו גם

• משפט קרנו

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא המשפט היפני למצולעים ציקליים בוויקישיתוף

• Japanese theorem at Mathworld
• Japanese Theorem interactive demonstration at the C.a.R. website
• המשפט היפני למצולעים ציקליים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

המשפט היפני למצולעים ציקליים39532460Q1317367