המשולש ההרמוני של לייבניץ

בקומבינטוריקה ושעשועי מתמטיקה, המשולש ההרמוני של לייבניץ הוא סידור משולשי של שברים יסודיים שבו האלכסונים החיצוניים ביותר מורכבים מההופכיים של אינדקסי השורות, בעוד המספר בכל תא פנימי שווה לזה שבתא שמעליו ומשמאלו מינוס זה שמשמאלו. ברישום אלגברי, L(r, 1) = 1/r (כאשר r הוא מספר השורה, בעוד c הוא מספר העמודה, שלעולם אינו עולה על r) ו-(L(r, c) = L(r - 1, c - 1) − L(r, c - 1.

היסטוריה

המשולש ההרמוני הומצא על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ במסגרת פתרונו לבעיה שהציג בפניו מורו כריסטיאן הויגנס כדי לאתגרו: לסכום את טור ההופכיים של המספרים המשולשיים. לייבניץ מצא במהרה את הפתרון (הטור הזה מהווה טור טלסקופי) ושב אל הויגנס עם הכללה מעניינת: לייבניץ הראה כיצד לסכום את טור ההופכיים של המספרים הארבעוניים, וכן כל טור הופכיים של מספרי הכדורים בערימות המהוות סימלפקסים n-ממדיים. כדי לתאר בצורה סכמטית את התבניות שמצא, לייבניץ הציג את המשולש ההרמוני שלו, מעין מניפולציה מעניינת על משולש פסקל.

עד מהרה הזין המשולש ההרמוני את מחקריו של לייבניץ על טורים אינסופיים, והוא היווה מרכיב חשוב במרבית עבודותיו המוקדמות על החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

המשולש

שמונה השורות הראשונות של המשולש ההרמוני הן:

${\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}$

הקשר למשולש פסקל

בעוד שערך כל תא של משולש פסקל הוא סכום של שני המספרים בשורה שמעליו, ערך כל תא במשולש לייבניץ הוא סכום שני המספרים שבשורה שמתחתיו. למשל, בשורה החמישית, התא (1/30) הוא סכום שני התאים שערכם (1/60) שנמצאים מתחתיו בשורה השישית.

בדיוק כשם שמשולש פסקל ניתן לחישוב בעזרת מקדמים בינומיים, כך גם המשולש של לייבניץ: $L(r,c)={\frac {1}{r{r-1 \choose c-1}}}$. מילולית ניתן לתאר נוסחה זאת כך: "האיברים בכל שורה שווים לאיבר ההתחלתי של השורה חלקי האיבר המתאים במשולש פסקל (בעל אותו אינדקס שורה ועמודה)". למעשה, כל אלכסון במשולש ההרמוני קשור באופן ישיר לאלכסונים במשולש פסקל: האלכסון הראשון במשולש לייבניץ מורכב מההופכיים של המספרים הטבעיים, השני ממחצית ההופכיים של המספרים המשולשיים, השלישי מ-1/3 ההופכיים של המספרים הארבעוניים וכן הלאה.

ראו גם

• משולש פסקל

קישורים חיצוניים

• המשולש ההרמוני של לייבניץ, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

27197068המשולש ההרמוני של לייבניץ