החלפה (תורת החוגים)
בתורת החוגים, תכונת ההחלפה היא תכונה של מודולים, הנלמדת בקשר לפירוק לסכום ישר (כגון במשפט קרול-שמידט) והרמה של אידמפונטים.
הגדרה
למודול $ A $ יש תכונת ההחלפה הסופית אם בכל מקרה בו $ A $ הוא מחובר ישר בסכום ישר $ M=M_{1}\oplus M_{2} $, יש פירוק $ M=A\oplus (M_{1}'\oplus M_{2}') $ שבו $ M_{1}'\subset M_{1},M_{2},\subset M_{2} $ (נובע מכאן שכל $ M_{i}' $ הוא מחובר ישר של $ M_{i} $).
באופן כללי יותר, עבור מונה $ \alpha $, למודול $ A $ יש תכונת ההחלפה ה-$ \alpha $ אם בכל מקרה בו $ A $ הוא מחובר ישר בסכום ישר $ M=\bigoplus _{i\in \alpha }M_{i} $, יש פירוק $ M=A\oplus \bigoplus _{i\in \alpha }M_{i}' $ שבו $ M_{i}'\subset M_{i} $ לכל $ i $ (וגם כאן נובע שכל $ M_{i}' $ הוא מחובר ישר של $ M_{i} $). התכונה נעשית חזקה יותר ככל שהמונה $ \alpha $ גדול יותר. אם $ A $ מקיים את התנאי לכל $ \alpha $, אומרים שיש לו תכונת ההחלפה (הכללית). כל תכונות ההחלפה הסופיות (ל-$ 2\leq \alpha <\infty $) שקולות זו לזו.
תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההחלפה הכללית אם המודול נוצר סופית, או אם הוא סכום ישר של מודולים אי-פרידים; במקרה הכללי זוהי בעיה פתוחה. מודול פרויקטיבי עם תכונת ההחלפה הבת-מניה מקיים את תכונת ההחלפה הכללית.
לכל מודול איג'קטיבי יש תכונת ההחלפה.
תכונת ההחלפה וסכומים ישרים
תכונת ההחלפה ה-$ \alpha $ עוברת ממודול למחובר ישר שלו, ואם היא נכונה לשני מודולים היא נכונה גם לסכום הישר שלהם.
יהי $ A $ מודול אי-פריד (כזה שאינו סכום ישר). אז הוא מקיים את תכונת ההחלפה, אם ורק אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה הסופית, אם ורק אם הוא "אי-פריד בחזקה" (כלומר, חוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי). בפרט, אם המודול אי-פריד, תכונת ההחלפה הסופית גוררת את תכונת ההצבה (שהיא גרסה חזקה של תכונת הצמצום).
תכונת ההחלפה של חוגים
אומרים שלחוג $ R $ יש תכונת ההחלפה, אם הוא מקיים את תכונת ההחלפה כמודול מעל עצמו. למודול $ M $ מעל $ R $ יש תכונת ההחלפה הסופית אם ורק אם לחוג האנדומורפיזמים $ \operatorname {End} ({}_{R}M) $ יש תכונת ההחלפה. חוג $ R $ מקיים את תכונת ההחלפה אם ורק אם אפשר להרים בו אידמפוטנטים מודולו כל אידיאל שמאלי או ימני, אם ורק אם אפשר להרים אידמפוטנטים מודולו רדיקל ג'ייקובסון $ \operatorname {Jac} (R) $ והחוג $ R/\operatorname {Jac} (R) $ מקיים את תכונת ההחלפה [1].
מקורות
- A. A. Tuganbaev, Rings and modules with exchange properties, J. Math. Sci. 110(1) (2002), 2348–2421.
הערות שוליים
- ↑ W. K. Nicholson, Lifting idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math. Soc. 229 (1977), 269–278
החלפה (תורת החוגים)36493297