הגרלה מורכבת

הגרלה מורכבת היא מושג בתחום תורת המשחקים.

אנו נדרשים למושג זה שכן בסיטואציות רבות נתקלים באופן טבעי בהגרלות על הגרלות.

סימונים

$A_{1},\ldots ,A_{K}$ - התוצאות האפשריות בפניהם עומד מקבל ההחלטות.

$L=[p_{1}(A_{1}),p_{2}(A_{2}),\ldots ,p_{K}(A_{K})]$ - הגרלה L שבה מתקבלת כל תוצאה $A_{k}$ בהסתברות ${p_{k}}$,

(כאשר $p_{1},\ldots ,p_{K}$ הם מספרים אי-שליליים שסכומם 1).

הגדרה

הגרלה מורכבת היא הגרלה על הגרלות.

הגרלה מורכבת נתונה על ידי: ${\hat {L}}=[q_{1}(L_{1}),\ldots ,q_{J}(L_{J})]$

שבה $q_{1},\ldots ,q_{J}$ הם מספרים אי-שליליים שסכומם 1, ו- $L_{1},\ldots ,L_{J}$ הן הגרלות.

כלומר, בהגדרה זו לכל $\ 1\leq j\leq J$ קיימים מספרים אי-שליליים $(p_{k}^{j})_{k=1}^{K}$ שסכומם 1 כך ש-

$L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),\ldots ,p_{K}^{j}(A_{K})]$ .

דוגמה

נתבונן באדם הבוחר את מסלול הנסיעה למשרדו לפי מזג אוויר - אם יורד גשם הוא נוסע בדרך א', אך אם לא יורד גשם הוא נוסע בדרך ב'. זמן הנסיעה בכל דרך אינו קבוע, והוא תלוי בגורמים רבים אחרים. התוצאה של המשתנה המקרי "זמן הנסיעה למשרד מחר בבוקר" היא הגרלה על הגרלה: בהסתברות מסוימת ירד גשם מחר בבוקר, וזמן הנסיעה ייקבע לפי התפלגות אחת, ובהסתברות המשלימה לא ירד גשם, וזמן הנסיעה ייקבע לפי התפלגות אחרת.

ברמה טכנית יותר, אם למשל שחקן במשחק בוחר אחד משני מהלכים על פי הגרלה (למשל, הטלת מטבע) ובעקבות כל מהלך יש מהלך גורל (הגרלה), הרי שתוצאת המשחק נקבעת על ידי הגרלה מורכבת.

ראו גם

• מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008.