הגדרת הגבול לפי קושי

הגדרת הגבול על פי קושי הנקראת לעיתים גם הגדרת הגבול באפסילון ודלתא ( $\varepsilon ,\delta$ ) היא הגדרה יסודית בחשבון אינפיניטסימלי המהווה פורמליזציה של המושג גבול. הגדרה זו נוסחה על ידי אוגוסטן לואי קושי בספרו מ-1821, "Cours d'Analyse". אף על פי שקושי מעולם לא השתמש באפסילון ודלתא, נהוג להשתמש בהם לטיעונים בהוכחות.

הגדרת הגבול המקורית ניתנה לראשונה כהגדרה רשמית על ידי ברנרד בולצאנו בשנת 1817, ונוסחה באופן סופי על ידי קארל ויירשטראס^[1]^[2]. הוא נתן ניסוח ריגורוזי לתפיסה הבלתי פורמלית שהביטוי התלוי $f(x)$ מתקרב לערך $L$ כאשר המשתנה $x$ מתקרב לערך $c$ אם ניתן לקרב כרצוננו את $f(x)$ ל- $L$ על ידי לקיחת $x$ קרוב מספיק ל- $c$ .

הגדרה

הגדרה: לפונקציה

f

קיים גבול

L

בנקודה

a

אם לכל

\varepsilon >0

(קטן כרצוננו) קיים

\delta >0

כך שלכל

0<|x_{1}-a|,|x_{2}-a|<\delta

מתקיים

{\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}<\varepsilon

.

הסבר אינטואיטיבי

במילים אחרות, נאמר שהגבול של פונקציה $f(x)$ , שווה ל־ $L$ , כאשר $x$ שואף ל־ $a$ (הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\,} ), אם נוכל להביא את $f(x)$ קרוב ל־ $L$ ככל שנרצה, אם ניקח $x$ קרוב מספיק ל־ $a$ שאינו שווה ממש ל־ $a$ ^[3].

כשאנו אומרים ששני מושגים "קרובים", כמו $f(x)$ ל־ $L$ או $x$ ל- $a$ , אנו מתכוונים שההפרש (או המרחק) ביניהם הוא קטן כרצוננו. כאשר $f(x)$ , $L$ , $x$ ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הם מספרים ממשיים, המרחק בין שני מספרים הוא הערך המוחלט של ההפרש בין השניים. לפיכך, כאשר אנו אומרים ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} קרוב ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} אנו מתכוונים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L|} קטן כרצוננו וכשאנו אומרים ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} קרובים, אנחנו מתכוונים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a|} קטן כרצוננו^[4].

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} ל־L, אנו מתכוונים שעבור כל מרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} , שאינו אפס, אנו יכולים להפוך את המרחק בין $f(x)$ ל־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |f(x)-L|} ) לקטן מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} ^[5].

כשאנו אומרים שנוכל לקרב כרצוננו את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} ל־L על ידי הדרישה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} צריך להיות מספיק קרוב, אבל לא בדיוק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , אנו מתכוונים לכל מרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon} שאינו אפס, יש מרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } שאינו אפס, כך שאם המרחק בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} הוא פחות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta } אז המרחק בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} קטן מ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon } .^[6]

היסטוריה

גרף הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x^2}

אף על פי שהיוונים בחנו את תהליך הגבול, כמו בשיטה הבבלית לחישוב שורש ריבועי, נראה שלא היה להם מושג הדומה לגבול המודרני^[7]. הצורך במושג הגבול עלה במאה ה-17 כאשר פייר דה פרמה ניסה למצוא את השיפוע קו המשיק בנקודה מסוימת של פונקציה באמצעות גודל שאינו אפס, אך כמעט אפס. כמקובל, השיפוע מסומן באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , הפונקציה מסומנת באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , הנקודה מסומנת באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} והגודל האפסי מסומן באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} . למשל עבור הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x^2} פרמה ביצע את החישוב הבא:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} m & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \\ & = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\\ & = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \\ & = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x. \end{align}}

המפתח לחישוב שלמעלה הוא שמאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} הוא לא אפס, אפשר לחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x+E)-f(x)} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} , אך מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} קרוב כרצוננו ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2x+E} זה בעצם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2x} ^[8]. גדלים כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} נקראים אינפיניטסימלים. הבעיה בחישוב זה היא שמתמטיקאים מהתקופה לא הצליחו להגדיר באופן ריגוזורי גודל עם התכונות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} ^[9]. אף על פי שהיה נהוג 'להזניח' אינפיניטימליים גדולים יותר ונראה היה כי זה מניב תוצאות נכונות.

בעיה זו הופיעה שוב מאוחר יותר במאה ה-17 במרכז התפתחות החשבון האינפיניטסימלי, שכן חישובים כמו של פרמה נחוצים לחישוב נגזרות. אייזק ניוטון פיתח לראשונה חישוב באמצעות גודל אינפיניטסימלי הנקרא fluxion. הוא פיתח אותו בהתייחס לרעיון של "רגע קטן עד אינסוף בזמן..."^[10] עם זאת, מאוחר יותר דחה ניוטון את הרעיון לטובת תאוריית יחסים הקרובה להגדרת הגבול המודרנית בשימוש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon\text{–}\delta } .^[10] יתרה מזו, ניוטון היה מודע לכך שגבול היחס בין גדלים אינפיניטסימלים אינו יחס כשלעצמו, כפי שכתב:

”אותם יחסים סופיים... למעשה אינם יחסים של גדלים סופיים, אלא גבולם... אליהם הם יכולים להתקרב כל כך, עד שההבדל ביניהם קטן יותר מכל גודל נתון...”

בנוסף, ניוטון דיבר על גבולות במונחים הדומים להגדרת האפסילון-דלתא^[11]. גוטפריד וילהלם לייבניץ פיתח אינפיניטסימל משלו וניסה לספק לו בסיס ריגורוזי, אך הוא עדיין נתקל בחוסר שביעות רצון מכמה מתמטיקאים ופילוסופים^[12].

לאוגוסטן לואי קושי הייתה תפיסה מעט פרימיטיבית יותר, והוא נתן הגדרה לגבול באמצעות מונח אותו כינה "גודל מִשְׁתַּנֶּה"^[13], ולא באמצעות אפסילון-דלתא^[14]. חלק מההוכחות של קושי מכילות אינדיקציות לשיטת האפסילון-דלתא. השאלה אם גישתו היסודית יכולה להיחשב כ"מבשרת" של ויישטראס היא נושא למחלוקת אקדמית. גראבינר טוען שכן, בעוד שוג'יבור (2005) לא.^[15] נקאן טוען שוויישטראס וקושי העניקו את אותו השם לתפיסות שונות של מושג הגבול^[16]. בסופו של דבר, הקרדיט ניתן לוויירשטראס ובולצאנו על מתן בסיס ריגוזורי לחישוב גבול בצורה המודרנית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon\text{–}\delta} ^[17]^[18]. מאז לא היה עוד צורך להתייחס לאינפיניטסימל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} ^[19] והחישוב של פרמה הפך לחישוב של הגבול הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

אין זה אומר שהגדרת הגבול הייתה נקייה מבעיות. אף על פי שלא היה עוד צורך באינפיניטסימלים, היא חייבה את בניית שדה המספרים הממשיים על ידי ריכרד דדקינד^[20]. זה גם לא אומר שלאינפיניטסימלים אין יותר מקום במתמטיקה המודרנית, שכן מתמטיקאים מאוחרים יותר הצליחו ליצור באופן ריגוזורי גדלים אינפיניטסימלים כמספרים היפר־ממשיים או כמספרים סוריאליסטיים. יתרה מזאת, ניתן לפתח באופן ריגוזורי חשבון עם גדלים כאלה ויש להם שימושים מתמטיים אחרים^[21].

דוגמאות

דוגמה 1

נראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to 0} x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0} .

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon > 0} . עלינו למצוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta >0 } כך שלכל $|x-0|<\delta$ מתקיים $\left|x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0\right|<\varepsilon$ .

נשים לב כי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)\ -\ 0\right|\ =\left|x\sin \ \left(\frac{1}{x}\right)\right|}

מתכונות ערך מוחלט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left|x\ \cdot \sin \ \left(\frac{1}{x}\right)\right|\ =\ |x|\left|\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|\ }

מכיוון שסינוס חסום בין 1 ל-1 אז:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |x|\left|\sin \left(\frac{1}{x}\right)\right|\ \le |x|}

לפיכך, אם ניקח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta = \varepsilon} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| =|x-0| < \delta} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| \leq |x| < \varepsilon } , מש"ל.

דוגמה 2

נוכיח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a} x^2 = a^2} עבור כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in \R} .

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} . עלינו למצוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta >0 } כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a|<\delta} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x^2-a^2|<\varepsilon } .

נתחיל בפישוט: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a| } .

נראה כי הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a|} חסום על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} , כך שנוכל להניח מראש חסם של 1 ובהמשך לבחור משהו קטן מזה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} ^[22].

אז אנחנו מניחים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a| < 1 } . ידוע שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ממשיים מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| - |y| \leq |x-y| } . ובפרט, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| - |a| \leq |x-a| < 1} לכן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| < 1 + |a| } .

לפי אי השוויון במשולש מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x+a| \leq |x| + |a| < 2|a| + 1 } לפיכך, אם אנו מניחים כיהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a| +1}} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x^2-a^2| <\varepsilon } .

לסיכום, נקבע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta = \min{\left(1,\frac{\varepsilon}{2|a| +1}\right)}}

ולכן אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a|<\delta} , אז:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} |x^2-a^2| &= |x-a||x+a| \\ &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}(|x+a|)\\ &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}(2|a|+1)\\ &=\varepsilon \end{align} }

לפיכך, מצאנו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} כך ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-a| < \delta} ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x^2-a^2| <\varepsilon } . אם כן, הראינו כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x\to a} x^2 = a^2} עבור כל מספר ממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} .

דוגמה 3

נוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to 5} (3x - 3) = 12}

אנו רוצים להראות זאת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\left(3x-3\right)-12|< \varepsilon \Leftarrow 0<|x-5|< \delta} .

נשים לב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\left(3x-3\right)-12|=|3x-15|} , כלומר נדרש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |3x-15|\le \varepsilon } . נחלק ב-3: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x-5|<\frac{\varepsilon }{3}} ונקבל מיד את התוצאה הרצויה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta=\frac{\varepsilon }{3}} . כך שההוכחה הושלמה.

לקריאה נוספת

ג׳ודית גרבינר, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, בהוצאת Courier Corporation, מסת"ב 978-0-486-14374-3, ‏1982 (באנגלית)
גרט שוברינג, Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition, בהוצאת שפרינגר, מסת"ב 978-0-387-22836-5, ‏2005 (באנגלית)

הערות שוליים

^ אוגוסטן לואי קושי, Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, ‏1823 (בצרפתית) (ארכיון)
^ Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)
^ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 90. ISBN 978-0914098911.
^ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 96. ISBN 978-0914098911.
^ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 96. ISBN 978-0914098911.
^ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 96. ISBN 978-0914098911.
^ ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 38-39), בהוצאת שפרינגר
מסת"ב 978-1-4899-0007-4, ‏1989
^ ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 104), בהוצאת שפרינגר
מסת"ב 978-1-4899-0007-4, ‏1989
^ ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 106), בהוצאת שפרינגר
מסת"ב 978-1-4899-0007-4, ‏1989
^ ^10.0 ^10.1 Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 31. ISBN 9780983700487.
^ Pourciau, B. (2001), "Newton and the Notion of Limit", Historia Mathematica, 28 (1): 18–30, doi:10.1006/hmat.2000.2301
^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 32. ISBN 9780983700487.
^ "variable quantity"
^ (Grabiner, 1981)
^ Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)
^ Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ε−δ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.
^ Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)
^ Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots} Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, p. 44, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01.
^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 33. ISBN 9780983700487.
^ Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. pp. 32–35. ISBN 9780983700487.
^ Tao, Terence (2008). Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 95–110. ISBN 978-0-8218-4695-7.
^ Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 95. ISBN 978-0914098911.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33545638הגדרת הגבול לפי קושי

[1] אוגוסטן לואי קושי, Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, ‏1823 (בצרפתית) (ארכיון)

[grabiner-2] Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)

[3] Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 90. ISBN 978-0914098911.

[Calculus-4] Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 96. ISBN 978-0914098911.

[Calculus2-5] Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 96. ISBN 978-0914098911.

[Calculus3-6] Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 96. ISBN 978-0914098911.

[7] ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 38-39), בהוצאת שפרינגר
מסת"ב 978-1-4899-0007-4, ‏1989

[8] ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 104), בהוצאת שפרינגר
מסת"ב 978-1-4899-0007-4, ‏1989

[9] ג'ון סטילוול, Mathematics and its history (עמ' 106), בהוצאת שפרינגר
מסת"ב 978-1-4899-0007-4, ‏1989

[ReferenceA-10] 10.0 ^10.1 Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 31. ISBN 9780983700487.

[11] Pourciau, B. (2001), "Newton and the Notion of Limit", Historia Mathematica, 28 (1): 18–30, doi:10.1006/hmat.2000.2301

[12] Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 32. ISBN 9780983700487.

[13] "variable quantity"

[14] (Grabiner, 1981)

[grabiner2-15] Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)

[16] Nakane, Michiyo. Did Weierstrass's differential calculus have a limit-avoiding character? His definition of a limit in ε−δ style. BSHM Bull. 29 (2014), no. 1, 51–59.

[grabiner3-17] Grabiner, Judith V. (במרץ 1983), "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus" (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185–194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01 {{citation}}: (עזרה)

[18] Cauchy, A.-L. (1823), "Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots} Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée", Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, p. 44, אורכב מ-המקור ב-2009-05-04, נבדק ב-2009-05-01.

[19] Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. p. 33. ISBN 9780983700487.

[20] Buckley, Benjamin Lee (2012). The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals. pp. 32–35. ISBN 9780983700487.

[21] Tao, Terence (2008). Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 95–110. ISBN 978-0-8218-4695-7.

[22] Spivak, Michael (2008). Calculus (4th ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 95. ISBN 978-0914098911.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

הגדרת הגבול לפי קושי

תוכן עניינים