קוטר זוויתי

הקוטר הזוויתי או הגודל הזוויתי של אובייקט, כפי שהוא נראה מנקודת מבט מסוימת, הוא הזווית שקוטר של אובייקט יוצר עם נקודת התצפית. ככל שאובייקט רחוק יותר, הוא נראה קטן יותר ולכן הקוטר הזוויתי לא משקף את הקוטר האמיתי של האובייקט. הסתרה של אובייקט על ידי אובייקט אחר, תלויה בגדלים הזוויתיים שלהם, ולא בגודלם הממשי. כך, בליקוי חמה מלא, מסתיר הירח את השמש בצורה מלאה, על אף שקוטרה של השמש גדול פי כארבע מאות מקוטר הירח, וזאת כיוון שקוטרם הזוויתי דומה.

נוסחה

דיאגרמה עבור הנוסחה לקוטר זוויתי

הקוטר הזוויתי של אובייקט מעגלי שטוח (דיסק) ניתן לחישוב באמצעות הנוסחה הבאה:

$\delta =2\arctan \left({\tfrac {d}{2D}}\right)$

כאשר $\delta$ הקוטר הזוויתי, $d$ הקוטר האמיתי ו־$D$ המרחק מהאובייקט – שני האחרונים מבוטאים על ידי אותה יחידת אורך.

כאשר $D$ גדול בהרבה מ־$d$ , $\delta$ יכולה להיות מוערכת בקירוב על ידי הנוסחה $\delta ={\frac {d}{D}}$ , כאשר התוצאה היא הזווית ברדיאנים.

עבור אובייקט ספרי עגול, שקוטרו הממשי שווה $d_{\text{act}}$ , הקוטר הזוויתי ניתן על ידי הנוסחה:

$\delta =2\arcsin \left({\tfrac {d_{\text{act}}}{2D}}\right)$

ההבדל נובע מכך שבצפייה בספירה קצוות האובייקט הנראה נמצאות בנקודות ההשקה, של המשיקים היוצאים מנקודת התצפית. נקודות ההשקה נמצאות בחלק הפנימי של מחצית הכדור הפונה לצופה.

לצרכים מעשיים, כאשר האובייקט רחוק מספיק, ניתן להתייחס אליו כאל דיסק במקום ספירה, שכן המרחק בין נקודות ההשקה מתקרב לקוטר הממשי.

כאשר המרחק גדול מאוד, ובפרט כשעוסקים בכוכבים, ניתן להשתמש בקירוב זווית קטנה:

${\begin{aligned}\sin(x)&\approx x\approx \arcsin(x)\\\tan(x)&\approx x\approx \arctan(x)\end{aligned}}$

כדי לפשט את הנוסחאות דלעיל לכדי:

$\delta \approx {\frac {d}{D}}$ (עבור $\delta$ קטנה)

שימוש באסטרונומיה

קוטר זוויתי – הזווית התחומה על ידי האובייקט

באסטרונומיה הגדלים של אובייקטים שמיימיים ניתנים לעיתים קרובות על ידי הקוטר הזוויתי שלהם, כפי שהם נצפים מכדור הארץ, במקום לציין את גודלם הממשי. מאחר שהגדלים הזוויתיים הללו קטנים נהוג לייצגם בשניות קשת. שניית קשת היא אחד מ-3600 של מעלה או אחד משישים של דקת קשת. רדיאן הוא ${\frac {180}{\pi }}$ מעלות, ולכן רדיאן הוא $3600\cdot {\frac {180}{\pi }}$ שניות קשת – בערך 206265 שניות קשת. לכן, הקוטר הזוויתי של אובייקט בעל קוטר $d$ במרחק $D$ , הניתן בשניות קשת, מבוטא על ידי:

$\delta =206265''d''/''D''$ שניות קשת.

הטבלה להלן מציגה את הגדלים הזוויתיים של לקט גרמי שמים כפי שהם נצפים מכדור הארץ:

גרם שמים	קוטר זוויתי	גודל יחסי (עשרה פיקסלים לשנייה קשת)
השמש	31.6′ – 32.7′	28.7–29.7 פעמים הערך המקסימלי של נוגה (הקו הכתום למטה) / 1896–1962″
הירח	29.3′ – 34.1′	26.6–31.0 פעמים הערך המקסימלי של נוגה (הקו הכתום למטה) / 1758–2046″
נוגה	9.565″ – 66.012″
צדק	29.800″ – 50.115″
שבתאי	14.991″ – 20.790″
מאדים	3.492″ – 25.113″
כוכב חמה	4.535″ – 13.019″
אורנוס	3.340″ – 4.084″
נפטון	2.179″ – 2.373″
קרס	0.330″ – 0.840″
וסטה	0.20" – 0.64"
פלוטו	0.063″ – 0.115″
R בדג זהב	0.052″ – 0.062″
ביטלג'וז	0.049″ – 0.060″
אריס	0.034" – 0.089″
אלפארד	0.00909″
אלפא קנטאורי	0.007″
קאנופוס	0.006″
סיריוס	0.005936″
אלטאיר	0.003″
דנב	0.002″
פרוקסימה קנטאורי	0.001″

השוואה של הקוטר הזוויתי של השמש, הירח ושאר כוכבי הלכת. כדי לקבל תצוגה אמיתית של הגדלים, יש להסתכל על התמונה ממרחק 103 פעמים הרוחב של מעגל "Moon: max.". למשל, אם המעגל הוא ברוחב 10 ס"מ על המסך שלכם, יש לצפות במסך ממרחק 10.3 מטרים על מנת שהקוטר הזוויתי בתמונה יהיה זהה לזה שיש לכוכבים במציאות

הטבלה מראה כי הקוטר הזוויתי של השמש, כאשר צופים מפני כדור הארץ, הוא בערך 32 דקות קשת (1920 שניות שמש או 0.53 מעלות) כפי שהוסבר לעיל.

משמעות הדבר שהקוטר הזוויתי של השמש הוא כ-250,000 פעם קוטרו של סיריוס על אף שלסיריוס קוטר באורך 1.7 קוטרי שמש. זאת כיוון שהמרחק מסיריוס גדול פי כחצי מיליון מהמרחק של כדור הארץ והשמש.

הקוטר הזוויתי של השמש הוא בערך כמו הקוטר הזוויתי של הירח כיוון שהיחס בין המרחקים, כמו גם היחס בין הקטרים הוא כ-400.

קישורים חיצוניים

• הסבר על קוטר זוויתי של כוכבים (באנגלית)
• גדי אלכסנדרוביץ', מתמטיקאים מהירח וטרחנים ממאדים, באתר "לא מדויק", 21 באוגוסט 2012 - מאמר על גדלים של כוכבי לכת