בעיית פניאנו

קובץ:Fagnano problem.svg

משולש העקבים: $\triangle DEF$, משולשים חסומים: $\triangle DEF\,,\triangle GHI$. מתקיים:$|DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG|$.

בגאומטריה, בעיית פניאנו היא בעיית אופטימיזציה שהוצעה ונפתרה לראשונה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'ובאני פניאנו ב-1775:

בעבור משולש חד-זווית נתון יש לבנות את המשולש החסום בעל ההיקף המינימלי.

הפתרון הוא משולש העקבים (Orthic triangle), שקודקודיו הם עקבי הגבהים של המשולש הנתון.

פתרון

למשולש העקבים, שקודקודיו הם עקבי הגבהים של המשולש חד-הזווית הנתון, יש ההיקף הקטן ביותר מבין כל המשולשים החסומים במשולש הנתון, ולפיכך זהו פתרון לבעיית פניאנו. ההוכחה המקורית של פניאנו עשתה שימוש בשיטות של קלקולוס ובלמת ביניים שניתנה על ידי אביו ג'וליו פניאנו. מאוחר יותר הוכחות גאומטריות אחרות נתגלו, בין היתר על ידי הרמן שוורץ וליפוט פייר. הוכחות אלו עשו שימוש בתכונות הגאומטריות של שיקופים כדי לקבוע מסלול בעל אורך מינימלי.

עקרונות פיזיקליים

משולש abc הוא משולש העקבים של המשולש ABC.

ניתן לתת פתרון פיזיקלי למחצה לבעיה באמצעות דימוי של מסגרת המשולש החסום $\triangle DEF$ לגומיה מתוחה, ושל הקודקודים $D,E,F$ כמעין חרוזים שיכולים להחליק בחופשיות על מסגרת המשולש החיצוני $\triangle ABC$. מכיוון שהגומיה שואפת למזער את האנרגיה האלסטית שלה ולפיכך גם את אורכה הכולל, שלושת החרוזים יתייצבו במיקומים על היקף המשולש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle ABC } שמקיימים שהיקף המשולש החסום הוא מינימלי.

במצב שיווי משקל מכני כזה, שקול הכוחות הפועל על כל חרוז חייב להתאפס. כיוון שכך, בכל אחד מקודקודי המשולש החסום מתקיים שסכום שני הווקטורים המייצגים את מתיחות הגומיה לאורך שני הצלעות הנפגשות באותו קודקוד, חייב להיות מאונך לצלע המתאימה של המשולש החיצוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle ABC } (שכן מסגרת המשולש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle ABC } יכולה להפעיל רק כוח נורמלי). מכיוון שמתיחות הגומיה אחידה לאורכה, שני הווקטורים הללו שווים בגודלם, ולפיכך האנכים לצלעות המשולש החיצוני שעוברים דרך קודקודי המשולש החסום בעל ההיקף המינימלי הם בהכרח חוצי הזוויות של המשולש החסום. כלומר, מתקיים (הסימון בשורה הבאה מתייחס לאיור השני):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \angle bcA = \angle acB, \angle caB = \angle baC, \angle abC = \angle cbA}

חוצי הזוויות הללו נפגשים בנקודה אחת שהיא מרכז המעגל החסום של המשולש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle DEF } . לפי משפט ידוע אחד על משולש העקבים (שהוכחתו לא מובאת כאן) של משולש נתון, נקודת מפגש הגבהים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} של משולש מסוים היא גם מרכז המעגל החסום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} של משולש העקבים שלו.

לפיכך, כל אחד מהאנכים לצלעות המשולש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle ABC } העוברים דרך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D,E,F} עובר גם דרך קודקוד של המשולש החיצוני, כלומר $D,E,F$ הם עקבי הגבהים של המשולש החיצוני, ו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle DEF } הוא משולש העקבים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \triangle ABC } .

ראו גם

• גובה (גאומטריה)

קישורים חיצוניים

• בעיית פניאנו, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

39532489בעיית פניאנו