עקרון היהלום

בתורת הקבוצות, עקרון היהלום הוא אקסיומה קומבינטורית בתורת הקבוצות האקסיומטית, שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל (אפילו עם אקסיומת הבחירה). האקסיומה חזקה מספיק על מנת להוכיח את השערת הרצף המוכללת.

קבוצות סגורות ולא חסומות

יהי $\kappa >\aleph _{0}$ מונה, קבוע מכאן ולהבא. תת-קבוצה $\ C\subseteq \kappa$ היא סגורה אם לכל סודר $\delta <\kappa$ שעבורו $\ \sup(C\cap \delta )=\delta$ מתקיים $\ \delta \in C$. קבוצה היא סל"ח אם היא סגורה ולא חסומה ב- $\kappa$. חיתוך של משפחה של פחות מ-${\mbox{cf}}(\kappa )$ של סל"חים הוא סל"ח.

קבוצות שבת

קבוצת שבת של הסודר $\kappa$ היא קבוצה S החותכת כל סל"ח באופן לא ריק (לכן אפשר לחשוב על קבוצת שבת כעל קבוצה ממידה חיובית). קבוצה מהווה קבוצת שבת אם ורק אם יש "פונקציה דוחסת" (היינו פונקציה $\ f{\,:\,}\kappa \rightarrow \kappa$ כך שתמיד $f(x)<x$) ש-S היא קבוצת נקודות השבת שלה.

עקרון היהלום

עבור קבוצת שבת S, העקרון $\Diamond _{S}$ קובע שקיימת משפחה של קבוצות $\{A_{\delta }:\delta \in S\}$ כך שלכל קבוצה $A\subseteq \kappa$ קיים $\ \delta \in S$ כך ש-$\ A\cap \delta =A_{\delta }$.

העקרון נעשה חזק יותר ככל ש-S קטנה יותר: אם $\ T\subseteq S$ שתיהן קבוצות שבת, אז $\ \Diamond _{T}\implies \Diamond _{S}$. עם זאת, אפילו העקרון החלש ביותר, $\ \Diamond _{\kappa }$, אינו נובע מאקסיומות ZFC (אקסיומות צרמלו-פרנקל עם אקסיומת הבחירה).

לכל מונה $\ \lambda$, אם מתקיים $\ \Diamond _{S}$ לאיזושהי קבוצת שבת $\ S\subseteq \lambda ^{+}$, אז $\ 2^{\lambda }=\lambda ^{+}$. שהרן שלח הוכיח את הטענה ההפוכה: אם $\ 2^{\lambda }=\lambda ^{+}$, אז $\ \Diamond _{S}$ מתקיים לכל קבוצת שבת $\ S\subseteq \{x<\kappa :\operatorname {cof} (x)<\operatorname {cof} (\kappa )\}$, כאשר $\operatorname {cof} (x)$ היא הקופינליות של x.