אנליזה ממדית

אנליזה ממדית היא כלי שימושי במדעים מדויקים ובהנדסה לצורך חישובים. בהקשר זה, ממד מוגדר כגודל פיזיקלי, כמו: מסה, אורך או זמן. אנליזה ממדית משמשת בעיקר ככלי עזר ובקרה בפיתוח משוואות ובהבנת משמעותן.

שימושים

מקובל לבחור את הממדים בתור הגדלים הבסיסיים של מערכת היחידות אשר נמצאת בשימוש. כך למשל, במכניקה אם נשתמש במערכת SI אז הגדלים הבסיסיים (הממדים) הם מסה, אורך וזמן, אשר מסומנים בעזרת האותיות $\,T,L,M$, בהתאמה. גדלים נוספים יכולים להיות מוגדרים באמצעות הגדלים הבסיסיים. כך למשל מהירות מוגדרת על ידי: $\,v={\frac {dx}{dt}}$, כאשר $\,v$ היא המהירות, $\,x$ הוא האורך ו-$\,t$ הוא הזמן. ממשוואה זו ניתן להסיק שהמהירות היא גודל בעל ממדים של ${\frac {L}{T}}$.

בצורה דומה, כוח מוגדר באמצעות החוק השני של ניוטון: $F=ma=m{\frac {dv}{dt}}$, כאשר $\,F$ הוא הכוח, $\,m$ המסה ו-$\,a$ התאוצה. מכאן ניתן לראות שלכוח יש ממדים של: ${\frac {ML}{T^{2}}}$.

אנליזה ממדית, מהווה בדרך-כלל את השלב הראשון בבדיקת נכונותם של חישובים. לדוגמה, פעולות חיבור או חיסור בעת עריכת חישובים יבוצעו תמיד על גדלים בעלי אותם ממדים, כך שאם התקבל ביטוי שהתבצע בו חיבור של גדלים בעלי ממדים שונים אז הוא מצביע על שגיאה. כלל זה לא חל על פעולות כפל וחילוק, ומותר לכפול ולחלק גדלים בעלי ממדים שונים. אם במהלך החישובים מופיע ביטוי הכולל פונקציות כמו: $\ \log(x),\sin(x),\cos(x),e^{x}$, אז הארגומנט של הפונקציה יהיה בהכרח חסר ממדים.

בכל משוואה ניתן לבצע העברת אגף, או במילים אחרות, המשוואה $\,a=b$ שקולה למשוואה $\,a-b=0$. על-כן, שיקולי האנליזה הממדית דורשים שהממדים של שני האגפים יהיו זהים. בצורה זו ניתן לוודא באופן ראשוני את היתכנותן של משוואות, ולבדוק ביטויים המתארים גדלים. כך למשל, אם נקבל משוואה שבה הכוח מקבל ממדים שאינם ${\frac {ML}{T^{2}}}$, אז תוצאה זו מקורה בטעות.

אנליזה ממדית משמשת גם ככלי עזר לבחינת כיווני התקדמות תאורטיים, ולמציאת סדרי גודל של תופעות.

אחת הדוגמאות היפות והאפקטיביות לשימוש באנליזה ממדית היא החוק של קולמוגורוב לפיזור האנרגיה בנוזל הנמצא בתנועה טורבולנטית תחת לחץ קבוע (למשל, תנועת הגלים בסערה). נסמן ב-$\ \epsilon$ הוא זרימת האנרגיה (השינוי באנרגיה האצורה ביחידת מסה, לאורך יחידת זמן). קולמוגורוב הראה שמן ההנחה (הלא מוכחת) שזרימת האנרגיה אינה תלויה בגודל הגל, נובע שהתפלגות האנרגיה מתאימה לנוסחה $\ E(k)\approx C\epsilon ^{2/3}k^{-5/3}$, כאשר C קבוע, ו-k הוא גודל הגל.

דוגמה לפתרון בעיה פיזיקלית בעזרת אנליזה ממדית

ניתן למצוא את זמן המחזור של מטוטלת (מתמטית) באופן הבא:

הפרמטרים הפיזיקליים בבעיה הם:

• מסת המטוטלת m. זהו גודל בעל ממד M.
• אורך החוט l. זהו גודל בעל ממד L.
• תאוצת הכובד g. זהו גודל בעל ממד ${\frac {L}{T^{2}}}$.

זמן המחזור של המטוטלת הוא גודל בעל ממד T, שצריך להיות פונקציה של הפרמטרים הנ"ל. אם מניחים שהפונקציה היא מהצורה $\ \lambda m^{a}l^{b}g^{c}$ כאשר a,b,c הם פרמטרים לא ידועים ו- $\ \lambda$ הוא קבוע, אז השוואת הממדים נותנת $\ M^{a}L^{b}(L/T^{2})^{c}=T$, ואם כך $\ a=0,b=1/2,c=-1/2$. מכאן שזמן המחזור הוא $\lambda {\sqrt {\frac {l}{g}}}$. למרות שאת ערכו של הקבוע החסר יש להשלים בדרך אחרת, התלות של זמן המחזור בנתוני הבעיה הושגה כמעט ללא מאמץ תאורטי, וללא כל ניסויים.

ראו גם

• הוכחה למשפט פיתגורס בעזרת אנליזה ממדית