אדוות מורלט

חלקו הממשי של אדות מורלט. ניתן לראות באמצע את צורת גל הסינוס האופיינית הדועכת ככל שמתרחקים מנקודת האמצע

אַדְוַת מורלט או אַדְוַת גאבור (באנגלית: Morlet wavelet או Gabor wavelet ) היא אדוה המורכבת מאקספוננט מרוכב המוכפל בפונקציית גאוסיין. אדות מורלט דומה באמצעה לגל סינוס. ככל שמתרחקים מאמצעה של האדוה גל הסינוס דועך לעבר קו האפס. אדוות מורלט שימושיות מאוד כאשר רוצים לאפיין עבור סדרה עתית שינויים לאורך הזמן בהרכב התדרים היוצרים אותה באמצעות התמרת wavelet. במקרה זה משמשים אדוות מורלט ליצירת גרף לאנליזת תדר זמן (Time–frequency analysis).

היסטוריה

אדות מורלט מעל המישור המרוכב.

הפיזיקאי זוכה פרס נובל דניס גאבור הציג בשנת 1964 דרך ליצירת אנליזת תדר-זמן באמצעות סינוסואידים מבוססי חלון זמן סינוסואידי. הצגה זו התבססה על רעיונות מתחום הפיזיקה הקוונטית, וסיפקה את הטרייד אוף האידיאלי בין רזולוציה בזמן ורזולוציה במרחב התדר. בשנת 1984 השתמש הגאופזיקאי ג'ין מורלט ברעיונותיו של גאבור והציג לראשונה פורמליזציה מתמטית של התמרת אדוה רציפה .

הגדרה

האקספוננט המרוכב מוגדר כ:

$ComplexExponent=Me^{i2\pi ft}$

כאשר i הוא מספר היחידה המדומה. M קבוע המשקף את המשרעת של הסינוס. f הוא התדר של הסינוס, מספר המחזורים שהגל עובר ליחידת זמן.

גאוסיין מוגדר כ:

${\displaystyle Gaussian\left(t\right)=Ae^{-{\frac {(t)^{2}}{2s^{2}}}}}$

כאשר לשם הפשטות הוסר פרמטר הקובע את מרכוז הגאוסיין בנקודה שונה מאפס על ציר $t$. $s$ הוא קבוע השווה לסטיית התקן של פונקציית הגאוסיין. כלומר: $s={\frac {n}{2\pi f}}$ . $n$ הוא קבוע המשקף את מספר המחזורים של האדוה, ו-$f$ הוא התדר של הסינוס שמוכפל בגאוסיין.

כאשר משתמשים באדוות מורלט על מנת לבצע אנליזת תדר זמן פקטור $n$ קובע את הטרייד אוף בין דיוק בזמן לדיוק בתדר. ככל שפקטור $n$ גדול יותר כך הדיוק בזמן פוחת אך הדיוק בתדר עולה. בעצם פקטור $n$ מגדיל את הרוחב של הגאוסיין שמשמש ליצירת האדוה. ככל שהרוחב יותר גדול כך שינויים מאוד מהירים בהרכב התדרים בזמן עלול להתפספס. מנגד רוחב גדול יותר יכול לתפוס יותר טוב פעילות דומיננטית בתדרים מסוימים לאורך זמן.

כדי לקבל את אדות מורלט מכפילים בין 2 הפונקציות מקבלים:

${\displaystyle MorletWavelet\left(t\right)=Ae^{-{\frac {(t)^{2}}{2s^{2}}}}}e^{i2\pi ft}$

כאשר $A={\frac {1}{(s{\sqrt {\pi }})^{\frac {1}{2}}}}$ הוא פקטור סילום (scaling factor) שמשתנה בין כל תדר לתדר.

שימושים

אדות מורלט משמשות ליצירת אנליזת תדר זמן. כפועל יוצא מכך בצורה נרחבת נעשה שימוש בהם בתחומי מדעי המוח. כאשר פעילות מוחית מופיעה בצורה עקבית בתדר מסוים אך הפאזה שלה אינה קבועה, שימוש בטכניקות קלאסיות כמו פוטנציאלים קשורי-אירוע תיכשל באיתור הפעילות. עם זאת כיוון שאדוות מורלט משתמשות בפונקציית הסינוס המרוכב היא אפקטיבית עבור איתור פעילות בתדרים בפאזה משתנה. בנוסף פעילות מוחית, ובפרט פעילות רישומי EEG, היא אינה פעילות סטציונרית. כלומר ממדים שוליים של הפעילות, כמו ממוצע או סטיית תקן, אינם קבועים בזמן. אנליזת תדר זמן מבוססת אדוות מורלט לא מניחות סטציונריות על כלל הפעילות אלא על האזורים בהם הסינוס המרוכב דומיננטי, בהשוואה לאזורים בהם הוא מתאפס בעקבות ההכפלה בגאוסיין. הנחה שכזו לרוב כן מתקיימת במידע מרישומי מוח.

לקריאה נוספת

• Cohen, M. X. (2014). Analyzing neural time series data: theory and practice. MIT press

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32958524אדוות מורלט