משוואת צ'פמן-קולמוגורוב

במתמטיקה, ובמיוחד בתהליכים הסטוכסטיים מרקוביים בתורת ההסתברות, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא זהות המתייחסת להתפלגויות ההסתברות המשותפות של קבוצות שונות של קואורדינטות בתהליך סטוכסטי. המשוואה נגזרה באופן עצמאי במקביל הן על ידי המתמטיקאי הבריטי סידני צ'פמן והן המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.

תיאור מתמטי

נניח ש- $\{f_{i}\}$ הוא אוסף מאונדקס של משתנים אקראיים, כלומר תהליך סטוכסטי. נגדיר

p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})

כפונקציית צפיפות ההסתברות המשותפת של ערכי המשתנים האקראיים $f_{1}$ עד $f_{n}$ . ואז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא:

p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}

נשים לב שעדיין לא הונח שום דבר לגבי הסדר הזמני של המשתנים האקראיים - המשוואה שלעיל חלה באותה מידה על דחיקה לשוליים של כל אחד מהם.

יישום לשרשראות מרקוב מורחבות זמן

כאשר התהליך הסטוכסטי הנדון הוא מרקוביאני, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב שקולה לזהות על צפיפות מעבר. בשרשרת מרקוב, מניחים ש- $i_{1}<...<i_{n}$ . ואז, בגלל תכונת מרקוב,

p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),

שבו ההסתברות המותנית $p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})$ היא הסתברות המעבר בין הזמנים $i>j$ . אז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב נראית מהצורה:

p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.

באופן לא רשמי, זה אומר שניתן למצוא את ההסתברות לעבור ממצב 1 למצב 3 מההסתברויות לעבור מ-1 למצב ביניים 2 ולאחר מכן מ-2 ל-3, על ידי חיבור של כל מצבי הביניים האפשריים 2.

כאשר התפלגות ההסתברות על מרחב המצב של שרשרת מרקוב היא בדידה ושרשרת מרקוב הומוגנית, ניתן לבטא את משוואות צ'פמן-קולמוגורוב במונחים של כפל מטריצה (פוטנציאלית אינסופי ממדי), כך:

P(t+s)=P(t)P(s)\,

כאשר $P(t)$ היא מטריצת המעבר של קפיצה $t$ , כלומר, $P(t)$ היא המטריצה כך שמצב $(i,j)$ מכיל את ההסתברות שהשרשרת תעבור ממצב $i$ למצב $j$ ב- $t$ שלבים.