דואופול סטקלברג

דואופול סטקלברג הוא מבנה שוק בתורת המשחקים ובכלכלה שבו בדואופול או באוליגופול החברה המובילה, מובילת סטקלברג מבצעת את המהלך הראשון בשוק, ורק אחריה פועלות יתר החברות המובלות. מבנה שוק זה, הידוע גם בשם מודל סטקלברג, נקרא כך על שם הכלכלן הגרמני היינריך פרייהר פון סטקלברג, שפרסם בשנת 1934 את מאמרו: מבנה שוק ושיווי משקל (בגרמנית: Marktform und Gleichgewicht) בו הוא פירט על המודל.

במונחי תורת המשחקים, השחקנים של המשחק הם המוביל והמובל, והם משחקים על כמות. מוביל סטקלברג נקרא לעיתים מוביל השוק.

קיום שיווי משקל במודל סטקלברג כפוף למספר אילוצים (או הנחות). על מנת להגיע לשיווי-משקל בדואופול סטקלברג, המוביל חייב לדעת מלכתחילה שהעוקב צופה במהלכיו. למובל, מצידו, אסור שיהיו אמצעים לביצוע מהלך עתידי שאינו מתאים למובל סטקלברג, והמוביל חייב לדעת זאת גם כן. לאמיתו של דבר, במידה וה'מובל' הוא רק מובל לכאורה, ולמעשה מסוגל לבצע מהלך של 'מוביל', אם המוביל האמיתי יודע זאת, המהלך הטוב ביותר שלו יהיה לשחק כ'מובל' בעצמו.

במציאות, בשוק כלכלי, דואופול סטקלברג מתקיים אם לאחת מהחברות הפועלות בשוק יש יתרון משמעותי המאפשר לה לפעול ראשונה ולהתחייב למעשיה בלי קשר לפעולת שאר החברות בשוק. דוגמה לשוק המתאים לדואופול סטקלברג הוא שוק שהתחיל כמונופול וחברה חדשה נכנסה אליו ובכך הוא הפך לדואופול עם חברה מובילה וחברה מובלת.

שיווי משקל תת-משחקי משוכלל

מודל סטקלברג יכול להיפתר על ידי מציאת שיווי המשקל הפרפקטי בכל תת-משחק. כלומר, מציאת פרופיל האסטרטגיות המיטבי עבור כל שחקן, בהינתן פרופיל האסטרטגיות של שאר השחקנים.

נמחיש זאת באמצעות דוגמה כללית. תהי $P$ פונקציית המחיר בשוק שבו פועל הדואופול, כך שהיא תלויה בסך הכמות המיוצרת על ידי כלל השחקנים בשוק $P(q_{1}+q_{2})$, כאשר האינדקסים 1 ו-2 מתייחסים למוביל ולמובל בהתאמה. לשם פשטות נניח פונקציית ייצור זהה ל-2 הפירמות $C_{i}(q_{i})$. המודל נפתר באמצעות אינדוקציה לאחור, כאשר בשלב ראשון המוביל צופה מה תהא התגובה המיטבית של המובל לאחר שייחשף לכמות אותה בחר המוביל, ובהתאם לכך בוחר המוביל את הכמות המשיאה את רווחיו בהנחה שהמובל אכן יתנהג בהתאם למה שהוא צופה. בשיווי משקל התנהגות המובל אכן תואמת את ציפיות המוביל.

רווחי המובל (פירמה מס' 2) שווים לפדיונו פחות העלות. הפדיון שווה לכמות שייצר כפול מחיר השוק, והעלות תהיה בהתאם לפונקציית הייצור: $\Pi _{2}=P(q_{1}+q_{2})\cdot q_{2}-C_{2}(q_{2})$. התגובה המיטבית היא למצוא את $q_{2}$ שממקסם את $\Pi _{2}$ בהינתן $q_{1}$. כדי לעשות זאת נגזור את פונקציית הרווח $\Pi _{2}$ כאשר משתנה הבחירה הוא $q_{2}$ ($q_{1}$ מוחזק כקבוע), ונשווה לאפס:

${\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial q_{2}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{2}}}\cdot q_{2}+P(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}=0.$

ערכו של $q_{2}$ המאפס את המשוואה הוא למעשה התגובה המיטבית של המובל. כעת נוכל להזין את התגובה המיטבית של המובל לתוך בעיית המקסימיזציה של המוביל. רווחי פירמה 1 (המוביל) שווים ל: $\Pi _{1}=P(q_{1}+q_{2}(q_{1})).q_{1}-C_{1}(q_{1})$, כאשר $q_{2}(q_{1})$ אינו אלא פונקציה הנובעת ישירות מהכמות אותה בוחר המוביל כפי שחישבנו לעיל. התגובה המיטבית של המוביל הינה לחשב את $q_{1}$ הממקסמת את $\Pi _{1}$ בהינתן $q_{2}(q_{1})$, קרי: בהינתן התגובה המיטבית של הפירמה המובלת (שחקן מס' 2). לשם כך יש לגזור את פונקציית הרווח של הפירמה המובילה, כשמשתנה הבחירה הוא $q_{1}$, ולהשוות ל-0:

${\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{2}}}\cdot {\frac {\partial q_{2}(q_{1})}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+{\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+P(q_{1}+q_{2}(q_{1}))-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0.$

דוגמאות

הדוגמה הבאה הינה כללית מאוד, ומניחה מבנה כללי של עקומת ביקוש לינארית:

$P(q_{1}+q_{2})={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}$

כמו כן, לשם פשטות החישוב, נאלץ את פונקציית העלות להתנהג כך ש:

${\frac {\partial ^{2}C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}\cdot \partial q_{j}}}=0,\forall j$ and ${\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{j}}}=0,j\neq \ i$

רווחי המובל (פירמה מס' 2) הם:

$\Pi _{2}={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}\cdot q_{2}-C_{2}(q_{2}).$

בעיית המקסימיזציה הינה:

${\frac {\partial {\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{2}}}\cdot q_{2}+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}=0,$

$\Rightarrow \ -bq_{2}+a-b(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}=0,$

$\Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}}.$

כעת, אפשר לגשת לבעיית המוביל (פירמה מס' 1):

$\Pi _{1}={\bigg (}a-b(q_{1}+q_{2}(q_{1})){\bigg )}\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1}).$

את הפתרון שמצאנו לבעיית המקסימיזציה של המובל, נציב כעת לתוך בעיית המקסימיזציה של המוביל:

$\Pi _{1}={\bigg (}a-b{\bigg (}q_{1}+{\frac {a-bq_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}}{\bigg )}{\bigg )}\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1}),$

$\Rightarrow \Pi _{1}={\bigg (}{\frac {a-b.q_{1}+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}){\bigg )}\cdot q_{1}-C_{1}(q_{1}).$

והבעיה מצטמצת לכדי:

${\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial q_{1}}}={\bigg (}{\frac {a-2bq_{1}+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}{\bigg )}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0.$

כעת, גזירת הפונקציה לפי $q_{1}$, תוביל למציאת $q_{1}^{*}$, שאינה אלה התגובה המיטבית של הפירמה המובילה (מס' 1), לאסטרטגיה של הפירמה המובלת (מס' 2) בשיווי משקל.

כעת, נוכל גם למצוא את התגובה שתגיב בפועל פירמה מס' 2:

$q_{2}^{*}={\frac {a-b\cdot {\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-2\cdot {\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2b}}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2b}},$

$\Rightarrow q_{2}^{*}={\frac {a-3\cdot {\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}+2\cdot {\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{4b}}.$

אוסף שיוויי המשקל נאש הינם כל $(q_{1}^{*},q_{2}^{*})$. קל לראות (בהנחה שהעלות השולית שווה לאפס) שלמוביל יש יתרון ברור כלפי המובל. האינטואיציה היא, שאילו למוביל לא היה יתרון ביחס למובל, הוא פשוט היה מאמץ אסטרטגיה של שיווי משקל קורנו.