טרנספורמציית בוקס-מילר

טרנספורמצית בוקס-מילר או שיטת בוקס-מילר נוצרה בשנת 1958 על ידי ג'ורג' בוקס ומרווין מילר. שיטה זו היא שיטה לייצירת זוגות מספרים אקראיים בהתפלגות נורמלית ממספרים המתפלגים בהתפלגות אחידה.

שיטת בוקס-מולר

אם X,Y מתפלגים בצורה אחידה בקטע [0,1] אזי אם נגדיר $R={\sqrt {-2*\ln(x)}}$ ו-$\theta =2\pi y$, המשתנים U,V יתפלגו נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1. כאשר: $U=R*cos\theta$ ו-$V=R*sin\theta$.

הוכחה

הצפיפות המשותפת של X, Y היא: $f(x,y)=1$ מפני שהם מתפלגים בהתפלגות אחידה. נמצא את היעקוביאן בהמרה מ-X,Y ל-R ו-θ:

$J(R,\theta )={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial R}{\partial x}}&{\dfrac {\partial \theta }{\partial x}}\\[2pt]{\dfrac {\partial R}{\partial y}}&{\dfrac {\partial \theta }{\partial y}}\\[2pt]\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1/(x*{\sqrt {-2\ln x}})&0\\0&2\pi \end{vmatrix}}\,=2\pi /(R*e^{-R^{2}/2})$

נמצא את היעקוביאן בהמרה בין R,θ ו-u,v:

$J(u,v)={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial R}}&{\dfrac {\partial v}{\partial R}}\\[2pt]{\dfrac {\partial u}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial v}{\partial \theta }}\\[2pt]\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}cos\theta &sin\theta \\-Rsin\theta &Rcos\theta \end{vmatrix}}\,=R$

עכשיו נמצא את הצפיפות המשותפת של V ו-U: $f_{uv}=f_{xy}/(J(u,v)*J(R,\theta )=1/(2\pi /(R*e^{-R^{2}/2})*R)=e^{-(V^{2}+U^{2})/2}/{2\pi }$ וזו בדיוק הצפיפות של משתנים המתפלגים נורמלית.

בעייתיות

שיטה זו דורשת שימוש בפונקציות טריגונומטריות וכן בשורש שאלו פעולות שלמחשב לוקח זמן רב לחשב ולכן שיטה זו איטית. בעקבות זאת, יצרו שיטות חדשות יעילות מעט יותר כמו שיטת מרסגליה וכן שיטות אשר האלגוריתם מסובך יותר אך הוא משתמש בפעולות בסיסיות בלבד שלא דורשות זמן חישוב רב כמו שיטת זיגורט.

קישורים חיצוניים

• מחולל מספרי גאוס ע״י שימוש בטרנספורמצית בוקס-מולר