פונקציית גאוס

גאוסיין מנורמל

פונקציית הגאוסיין היא פונקציה מתמטית בעלת שימושים רבים במתמטיקה, פיזיקה ומדעי המחשב. פונקציה זו נקראת על שם קרל פרידריך גאוס. צורתה המתמטית היא:

$f\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}$

פונקציית הגאוסיין מכונה בשם פונקציית הפעמון כפי שניתן להיווכח מצורתה הייחודית. בפונקציה, שמיוצגת לרוב על ידי שלושה פרמטרים, הפרמטר a מבטא את הגובה של הגאוסיין, הפרמטר b מבטא את מיקום המרכז של הגאוסיין ו c מבטא את רוחבו של הגאוסיין.

הגאוסיין משמש בהסתברות כפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית, שם מקשרים בין הפרמטרים $a,c$ לבין הממוצע של המשתנה, וכן סטיית התקן שלו.

אינטגרל על גאוסיין מבוצע באמצעות מעבר לקואורדינטות פולריות, שמפשט את האינטגרל באמצעות היעקוביאן ומקל על החישוב.

גם כאשר עוסקים בהילוך שיכור הגאוסיאן מופיע, וכן במקרה הרציף של הילוך שיכור - פתרון משוואת הדיפוזיה אשר שניהם מתארים תנועה אקראית.

החשיבות של הגאוסיין, ומקור הופעתו בטבע, היא בחוק המספרים הגדולים - חוק מתמטי, אשר לפיו סכום של משתנים אקראיים רבים שאינם תלויים ישאף(באופן מסוים מאוד) לגאוסיין. כך למשל מתקבל המופע של הגאוסיאן בהילוך שיכור.

הפונקציה מופיעה במקומות רבים, כגון ציוני מבחנים ותוצאות מבחני אינטליגנציה (IQ).

כאשר מתבוננים בשטח שמתחת לגאוסיין בטווח עד סטיית תקן אחת מהממוצע, מתקבל שטח המהווה כ $67\%$מתוך השטח שנמצא מתחת לגאוסיין. אם מדובר בגאוסיין שמייצג התפלגות, אז המשמעות היא ש $67\%$ מהאוכלוסייה נמצאת בטווח $\mu \pm \varepsilon$. כך, למשל, ליותר ממחצית מהאוכלוסייה מנת משכל בין 85 לבין 115.

אינטגרציה על גאוסיין

ראשית, נתחיל מחישוב האינטגרל $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$. כפי שהוא נראה כך, הגאוסיין הוא קשה מאד לאינטגרציה - מתקבל האינטגרל $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$ שלא נראה פתיר. עם זאת, נראה חישוב עקיף של הגאוסיאן, שפותר את הבעיה. לשם כך, נעלה את האינטגרל בריבוע ונקבל $(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy$. אם נעבור לקואורדינטות פולריות, נקבל

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=(polar)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }r\cdot e^{-r^{2}}d\theta dr$$

כעת המצב שלנו טוב יותר, שכן הפונקציה הפנימית נראית כמעט כמו ${\frac {d}{dr}}e^{-r^{2}}$. כלומר, נקבל $\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }r\cdot e^{-r^{2}}d\theta dr=-2\pi \cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left[e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty }=\pi$ אבל הביטוי שהתחלנו ממנו היה $(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx)^{2}$, לכן סה"כ קיבלנו $\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$. כעת, נתעניין בחישוב אינטגרל מסובך מעט יותר - $\int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-\left(x-b\right)^{2}/2c^{2}}\,dx$. על ידי ההצבה $x\mapsto x+b$ ניתן להיפטר מאחד הגורמים. כמו כן ה$a$ רק מוסיף פקטור מחוץ לאינטגרל. ההצבה הנוספת $x\mapsto {\frac {y}{{\sqrt {2}}c}},dy=dx\cdot {\sqrt {2}}c$ תתן אינטגרל מהצורה שכבר פתרנו, עם פקטור נוסף של ${\sqrt {2}}\cdot c$. סה"כ קיבלנו $\int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-\left(x-b\right)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2}}a\,\left\vert c\right\vert \,{\sqrt {\pi }}$.