ממד (אלגברה ליניארית): הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת

חזותיקוד ויקי

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+{{מקורות|רמה=מחפש}}
 ב[[אלגברה ליניארית]], ה'''ממד''' של [[מרחב וקטורי]] הוא מספר האיברים ב[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של המרחב. משום כך, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר נקודות של המרחב, ובכך הוא מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן ה[[המרחב האוקלידי|מרחבים האוקלידיים]] הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי. כ[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של קבוצה, הממד הוא מספר טבעי (לרבות אפס), או עוצמה אינסופית. לממד מהאלגברה הליניארית יש [[ממד (מתמטיקה)|הכללות לתחומים רבים במתמטיקה]].
-מקובל לסמן את הממד של מרחב V מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F בסימון <math>\ \dim(V)</math>; כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים <math>\ \dim_F(V)</math>, ולפעמים גם <math>\ [V \!:\! F]</math>. הממד של מרחב וקטורי מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נתון, מאפיין אותו באופן מלא: כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]] זה לזה. המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד. הממד קובע גם תכונות מסוימות של תת-מרחבים. למשל, אם V מרחב וקטורי מממד סופי ו-U תת-מרחב מאותו ממד, אז הם מוכרחים להיות שווים.
+מקובל לסמן את הממד של מרחב <math>V</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math> בסימון <math>\ \dim(V)</math>; כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים <math>\ \dim_F(V)</math>, ולפעמים גם <math>\ [V \!:\! F]</math>. הממד של מרחב וקטורי מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] נתון, מאפיין אותו באופן מלא: כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]] זה לזה. המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד. הממד קובע גם תכונות מסוימות של תת-מרחבים. למשל, אם <math>V</math> מרחב וקטורי מממד סופי ו-<math>U</math> תת-מרחב מאותו ממד, אז הם מוכרחים להיות שווים.
 [[משפט הממדים]] קושר את הממד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם <math>\ U,U' \subseteq V</math>, אז <math>\ \dim(U+U') = \dim(U)+\dim(U')- \dim(U\cap U')</math>.
-הממד של מרחב הווקטורים <math>\ F^n</math> שווה ל-n, והממד של [[אלגברת המטריצות]] <math>\ \operatorname{M}_n(F)</math> הוא <math>\ n^2</math>.
+הממד של מרחב הווקטורים <math>F^n</math> שווה ל-<math>n</math>, והממד של [[אלגברת המטריצות]] <math>\operatorname{M}_n(F)</math> הוא <math>\ n^2</math>.
-הממד של [[סכום ישר]] של מרחבים הוא סכום הממדים, והממד של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]] שווה למכפלת הממדים. גם הממד של מרחב ההעתקות הליניאריות <math>\ \operatorname{Hom}(U,V)</math> שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים. אם V מרחב וקטורי מעל שדה K שיש לו תת-שדה F, אז K מרחב וקטורי מעל F, והממדים מקיימים <math>\ \dim_F(V) = [K\!:\!F]\dim_K(V)</math>. בפרט, אם <math>\ F\subseteq K \subseteq L</math> שדות, אז <math>\ [L\!:\!F] = [L\!:\!K]\cdot [K\!:\!F]</math>. עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק, למשל, שאי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של [[הוצאת שורש ריבועי]], וזו הסיבה לכך שלא ניתן [[מספרים ניתנים לבניה|לבנות]] את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את ה[[שורש יחידה|שורש השביעי של היחידה]] (או את הרכיב הממשי שלו, ה[[קוסינוס]] של שני [[פאי]] חלקי [[משובע|7]] ) - כולן [[הבעיות של ימי קדם|בעיות מפורסמות של ימי קדם]].
+הממד של [[סכום ישר]] של מרחבים הוא סכום הממדים, והממד של ה[[מכפלה טנזורית|מכפלה הטנזורית]] שווה למכפלת הממדים. גם הממד של מרחב ההעתקות הליניאריות <math>\operatorname{Hom}(U,V)</math> שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים. אם <math>V</math> מרחב וקטורי מעל שדה <math>K</math> שיש לו תת-שדה <math>F</math>, אז <math>K</math> מרחב וקטורי מעל <math>F</math>, והממדים מקיימים <math>\ \dim_F(V) = [K\!:\!F]\dim_K(V)</math>. בפרט, אם <math>\ F\subseteq K \subseteq L</math> שדות, אז <math>\ [L\!:\!F] = [L\!:\!K]\cdot [K\!:\!F]</math>. עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק, למשל, שאי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של [[הוצאת שורש ריבועי]], וזו הסיבה לכך שלא ניתן [[מספרים ניתנים לבניה|לבנות]] את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את ה[[שורש יחידה|שורש השביעי של היחידה]] (או את הרכיב הממשי שלו, ה[[קוסינוס]] של שני [[פאי]] חלקי [[משובע|7]] ) - כולן [[הבעיות של ימי קדם|בעיות מפורסמות של ימי קדם]].
 ==קישורים חיצוניים==
-{{ויקישיתוף בשורה}}
+{{ויקישיתוף בשורה|Category:Dimensions}}
 [[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
+{{וח}}
+{{מיון ויקיפדיה|דף=ממד (אלגברה ליניארית)|גרסה=31302489|פריט=Q929302}}