מטריצת הסיאן

באנליזה מתמטית, מטריצת הסיאן (Hessian) היא מטריצה ריבועית, שאיבריה הם הנגזרות החלקיות מסדר שני של פונקציה. מטריצת ההסיאן שימושית במציאה וסיווג נקודות קיצון של פונקציה מרובת משתנים.

הגדרה פורמלית

תהא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n):\R^n\to\R} פונקציה סקלרית ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משתנים, שקיימות כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 שלה.

נגדיר את מטריצת ההסיאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(f)} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=(a_1,\ldots,a_n)} בתור מטריצה בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\times n} עבורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[H(f)\right]_{ij}=\frac{\part^2f}{\part x_j\part x_i}(a)}

ערך האבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ij} הוא ערך הנגזרת השנייה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} כאשר קודם גוזרים על פי המשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i} ואחר כך על פי המשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_j} .

אם כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 הן רציפות (נהוג לסמן זאת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\in C^2} ), קיים משפט המראה כי הנגזרות המעורבות על פי אותם משתנים שוות, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{ij}=f_{ji}} . מכאן נובע כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\in C^2} אז מטריצת ההסיאן היא מטריצה סימטרית.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H(f)=\begin{bmatrix} \dfrac{\part^2f}{\part x_1^2}&\dfrac{\part^2f}{\part x_1\part x_2}&\cdots&\dfrac{\part^2f}{\part x_1\part x_n}\\\\ \dfrac{\part^2f}{\part x_2\part x_1}&\dfrac{\part^2f}{\part x_2^2}&\cdots&\dfrac{\part^2f}{\part x_2\part x_n}\\\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\ \dfrac{\part^2f}{\part x_n\part x_1}&\dfrac{\part^2f}{\part x_n\part x_2}&\cdots&\dfrac{\part^2f}{\part x_n^2} \end{bmatrix}}

שימוש לבדיקת ערכי קיצון

אם בנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in\R^n} הגרדיאנט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} הוא וקטור האפס, הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} נקראת נקודה קריטית. ממשפט פרמה נובע כי כל נקודת קיצון היא נקודה קריטית, אולם ההפך אינו נכון בהכרח – לא כל נקודה קריטית היא נקודת קיצון, והמשפט אינו נותן דרך לבדוק זאת. באמצעות ההסיאן ניתן לקבל תשובה במקרים רבים.

בהינתן נקודה קריטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} יש לחשב את מטריצת ההסיאן של הפונקציה בנקודה זו. כעת בודקים את סימנם של הערכים העצמיים של המטריצה, ומתקיים אחד מבין המקרים הבאים:

1. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה חיוביים (מטריצה כזו נקראת מטריצה חיובית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מינימום.
2. אם כל הערכים העצמיים של המטריצה שליליים (מטריצה כזו נקראת מטריצה שלילית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מקסימום.
3. אם קיים למטריצה ערך עצמי חיובי וערך עצמי שלילי, הנקודה היא נקודת אוכף.
4. אם למטריצה קיים ערך עצמי 0 ושאר הערכים עצמיים הם בעלי אותו סימן, לא ניתן לדעת בוודאות בעזרת מבחן זה האם הנקודה היא נקודת מינימום, מקסימום, או אוכף.

נשים לב כי מבחן זה מכליל את הבדיקה עבור פונקציה של משתנה אחד: אם הנגזרת השנייה של הפונקציה חיובית בנקודת קיצון, זוהי נקודת מינימום. אם היא שלילית, זוהי נקודת מקסימום, ואם היא שווה לאפס, לא ניתן לדעת באמצעות מבחן זה האם זוהי נקודת מינימום, מקסימום או נקודת פיתול.