גרף (תורת הגרפים)

גרף לא מכוון בעל 6 קודקודים ו-7 קשתות

גרף מכוון בעל 4 קודקודים ו-5 קשתות

בתורת הגרפים, גרף הוא ייצוג מופשט של קבוצה של אובייקטים, כאשר כל זוג אובייקטים בקבוצה עשויים להיות מקושרים זה לזה.

האובייקטים הניתנים לקישור מכונים קודקודים או צמתים (באנגלית: vertex), וקבוצת הקודקודים מסומנת באות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} .

הקישורים בין הקודקודים מכונים צלעות או קשתות (באנגלית: edge), וקבוצת הצלעות מסומנת באות $E$. מתקיים כי קבוצת הצלעות מקיימת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \sube V\times V} , כלומר: כל צלע היא זוג הקודקודים, אותם היא מקשרת (ללא חשיבות לסדר, נהוג לייצג באמצעות קבוצה).

גרף, אשר קבוצת הקודקודים שלו היא $V$ וקבוצת הצלעות שלו היא $E$ מסומן באופן הבא: $G=(V,E)$.

גרפים זכו למחקר תאורטי נרחב במסגרת תורת הגרפים. הם משמשים גם לפתרון בעיות מעשיות, כגון בעיית הסוכן הנוסע, העוסקת בסוכן נוסע, שבמסגרת תפקידו עליו לעבור בערים רבות, המקושרות ביניהן ברשת כבישים, ויש למצוא את המסלול הקצר ביותר אשר מבקר בכל עיר פעם אחת בדיוק. בבעיה זו, הצמתים בגרף מייצגים את הערים, והקשתות מייצגות את הכבישים המקשרים בין הערים.

סוגי גרפים

• גרף בלתי מכוון ולעיתים בפשטות גרף הוא קבוצה של צמתים וקבוצה של קשתות. כל קשת מקשרת בין שני צמתים. באופן פורמלי, גרף בלתי מכוון $G$ מוגדר על ידי $(V,E)$ כאשר $V$ היא קבוצת הצמתים ו-$E\subseteq \{\{u,v\}\mid u,v\in V\}$ היא קבוצת הקשתות. ניתן לראות בגרפים בלתי מכוונים מקרה פרטי של גרפים מכוונים (בהם עבור כל זוג צמתים $u$ ו-$v$, הקשתות מ-$u$ ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} ומ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u } קיימות שתיהן, או חסרות שתיהן).
• גרף מכוון הוא קבוצה של צמתים (גם: קודקודים או נקודות) וקבוצה של קשתות מכוונות. כאשר ישנה משמעות לכיוונה של קשת מכוונת - היא יוצאת מצומת אחד ונכנסת לצומת אחר. באופן פורמלי, גרף מכוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מוגדר על ידי $(V,E)$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} היא קבוצת הצמתים ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E \subseteq V \times V} היא קבוצת הקשתות. קשת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=(u,v)\in E} יוצאת מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u } ונכנסת ל-$v$.
  • גרף תשתית של גרף מכוון הוא גרף בלתי מכוון, אשר מכיל אותה קבוצת צמתים כמו הגרף המכוון, ומכיל את הקשתות בין זוגות הצמתים אשר היו ביניהם קשתות בגרף המקורי (פורמלית, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=(V,E)} ‎ הוא גרף מכוון אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D' =(V,\{\{u,v\}|(u,v)\in E\})} הוא גרף התשתית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} ).
• גרף מעורב הוא קבוצה של צמתים, קבוצה של קשתות מכוונות וקבוצה של קשתות לא מכוונות. כל קשת, מכוונת או לא מכוונת, מקשרת בין שני צמתים.
• לולאה (גם: חוג עצמי) היא קשת (או קשת מכוונת) שמקשרת צומת עם עצמו.
• גרף פשוט גרף לא מכוון ללא לולאות וללא קשתות מקבילות.
• גרף סופי גרף שקבוצת הצמתים שלו סופית.
• גרף אינסופי גרף שקבוצת הצמתים שלו היא אינסופית.
• גרף ממושקל הוא גרף שבו לכל קשת יש ערך, לרוב מספרי, המכונה משקל. באופן פורמלי, גרף ממושקל בלתי מכוון הוא שלשה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V,E,w)} , כאשר $V$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} מוגדרים כמקודם, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle w} היא פונקציית המשקל מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} לקבוצה כלשהי (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}} ).
• גרף בלתי מתויג הוא גרף שבו לא ניתן להבחין בין הצמתים. כלומר, אין אף מזהה ייחודי (כגון שם או מספר) לצומת בגרף.

תת גרף

תת גרף $G'=\left(V',E'\right)$ של גרף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\left(V, E\right)} הוא גרף המורכב משתי תתי קבוצות של צומתי וקשתות G, דהיינו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V'\subseteq V} וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E'\subseteq E} כך שהקשתות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E'} נפרשות על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V'} .

או במילים אחרות: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G=\left(V, E\right)} ו-$H=\left(W,F\right)$ הם שני גרפים, אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} הוא תת-גרף של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} אם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W\subseteq V} וגם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\subseteq E} .

תת גרף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} של גרף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} הוא תת גרף מושרה אם לכל זוג של צמתים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} , ‏הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xy} היא קשת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} אם ורק אם היא קשת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} . במילים אחרות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} הוא תת-גרף מושרה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} אם הוא מכיל את כל הקשתות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} המתאימות לצמתים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} ולא מכיל אף קשת נוספת.

ראו גם

• גרף מעגל
• מבנה נתונים

קישורים חיצוניים

• גרף, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34907085גרף (תורת הגרפים)