פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/אוסף

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


תחום נבחר

לעריכת התחומים לחצו על המספר בכותרת ואחר כך "עריכה".

1

אלגברה בסיסית הוא שמו המודרני של הענף המתמטי מתחום האלגברה העוסק בביטויים מתמטיים שבהם מיוצגות כמויות שערכן המספרי אינו ידוע באמצעות סמלים, ובביצוע מניפולציות אלגבריות של ביטויים כאלה. הביטויים האמורים מורכבים בעזרת ארבע פעולות החשבון, ופעולות כמו חזקה, שורש ולוגריתם, מסמלי היסוד, שהם "משתנים" ו"פרמטרים". תכליתן של המניפולציות האלגבריות עשויה להיות העברת ביטוי לצורה פשוטה יותר, או פתרון משוואות העשויות לייצג בעיות תאורטיות או מעשיות.

לאלגברה הבסיסית שימוש רב במתמטיקה ובכל יתר המדעים המדויקים. באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הבסיסית, מתוארות מערכות מתמטיות וטבעיות רבות על ידי משתנים ופרמטרים המרכיבים משוואות המתארות את הקשרים הכמותיים המאפיינים את המערכות.

2

אנליזה נומרית (או חישוב נומרי) היא ענף של מתמטיקה שימושית אשר חוקר את השיטות והאלגוריתמים למציאה או הערכה של פתרונות מספריים לבעיות מתמטיות שונות, על ידי שימוש במספר סופי של פעולות חשבון ופעולות לוגיות.

אנליזה נומרית מאפשרת לפתור בעיות כמו אינטגרלים של פונקציות לא אנליטיות, מציאת שורשים של פונקציות (למשל פולינומים ממעלה גבוהה, פונקציות טריגונומטריות וכדומה) ובעיות אחרות שקשה עד בלתי אפשרי למצוא להן פתרון אנליטי המתאים לכל פרמטר אפשרי.

למרות שאנליזה נומרית עושה שימוש באקסיומות, תאוריות והוכחות תאורטיות, היא יכולה להשתמש בתוצאות אמפיריות של חישובי מחשב על מנת לחקור שיטות חדשות ולנתח בעיות. בכך היא ייחודית בהשוואה לתחומי מתמטיקה אחרים.

3

לוגיקה מתמטית הוא תחום במתמטיקה, העוסק במערכות פורמליות ובדרך בה הן מקודדות מושגים אינטואיטיביים, כגון הוכחה או חישוביות. במקורה הייתה הלוגיקה ענף של הפילוסופיה, אולם במהלך מאתיים השנים האחרונות חלו התפתחויות רבות בתחום הלוגיקה הפורמלית שהינה כיום, בנוסף לפילוסופיה, גם ענף של המתמטיקה הנקרא לוגיקה מתמטית.

התחום הוא אחד מקבוצה של תחומים המכונים יסודות המתמטיקה משום שהם עוסקים בבסיס הפורמלי של המתמטיקה כולה. לוגיקה מתמטית עוסקת באותם חלקים של הלוגיקה שניתן ליצור להם מודל מתמטי. בעבר נקרא התחום גם בשמות לוגיקה סימבולית (בשל עיסוקו בטענות המיוצגות בידי סמלים) או מטה-מתמטיקה. השם השני מתייחס כיום רק לתורת ההוכחות, אחד התחומים בלוגיקה מתמטית.

4

גאומטריה היא ענף של המתמטיקה העוסק בצורות ובמבנים, ובהם הישויות: נקודות, קווים ישרים, עקומות, משטחים ופאונים.

על פי רוב עוסקים בגאומטריה בהוכחת טענות לגבי הישויות בעזרת משפטים, המתבססים על אקסיומות. דוגמה למשפטים גאומטריים מהווים משפטי חפיפה. דוגמאות לאקסיומות מופיעות בערך נקודה.

המבנים היסודיים של הגאומטריה (בדרך כלל, נקודה, קו ישר, מישור, ולעתים גם הזווית והמרחק) מתוארים באמצעות האקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתיאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.

5

תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המנתח באופן כמותי מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות יצא הצירוף שש-שש.

הסתברות היא הסיכוי להתרחשות מאורע מסוים. הסתברות ניתנת לכימות כמספר בין 0 ל-1. מאורע בלתי אפשרי הוא בעל הסתברות 0, ומאורע ודאי הוא בעל הסתברות 1. ההסתברות היא מושג יסודי במתמטיקה ומוגדרת באופן אנליטי בתורת ההסתברות. ההגדרה האנליטית מאפשרת לנתח איזה מסקנות אפשר להסיק מידיעת פונקציית ההסתברות לגבי מאורעות אקראיים והתפלגותם.

לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים.


6

תורת הגרפים היא ענף של המתמטיקה העוסק בתכונותיהם של גרפים. ישנם מבנים מתחומים רבים שניתן לייצגם באמצעות גרף, ובעיות מעשיות שונות ניתנות לניסוח (ולפתרון) כבעיות העוסקות בגרפים, ולכן אלגוריתמים לטיפול בגרפים הם נושא מרכזי במדעי המחשב.

בפשטות, גרף מייצג מבנה שבו קיימים מספר אובייקטים המקושרים ביניהם. הגרף מייצג את האובייקטים באמצעות הצמתים ואת הקשרים ביניהם באמצעות הקשתות. כאשר לקשרים יש כיוון או ערך, הם מיוצגים על ידי כיוון הקשת או משקלה.

דוגמה לשימוש בגרף מכוון הוא המבנה של ויקיפדיה. ניתן לייצג את ויקיפדיה באמצעות גרף מכוון כאשר אחד מהערכים מיוצג על ידי צומת, וקישור המפנה מערך אחד לאחר מיוצג על ידי קשת שיוצאת מהצומת המייצג את הערך המפנה ונכנסת לצומת המייצג את הערך אליו ההפנייה.

7

אריתמטיקה (מהמילה היוונית: αριθμός, שמשמעותה מספר) היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה. חוקי האריתמטיקה הבסיסיים משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית. לאריתמטיקה המתקדמת יותר ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מסובכות, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.

במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק בפעולות הקשורות במספרים, כגון ארבע פעולות החשבון או פעולות מורכבות יותר. מתמטיקאים משתמשים לעתים במונח 'אריתמטיקה' כתחליף לתורת המספרים. גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. באופן עקרוני, עוסקת האריתמטיקה במספרים, ביצוע פעולות עליהם, חקירת המאפיינים שלהם וסוגיהם מחד, ובאלגוריתמים ומושגים בעלי "קרבה" רעיונית או תוכנית לתחום זה. כך, למשל, משתמשים לעתים במונח "אריתמטיקה" גם לצורך חקירת מספרים ראשוניים או בעיות חישוביות שונות בגאומטריה אלגברית.

8

טופולוגיה היא ענף חדש יחסית במתמטיקה. הטופולוגיה עוסקת בתכונות הנוגעות לצורתם של עצמים מופשטים, ומתמקדת בתכונות הנשמרות גם לאחר הפעלת פונקציות שעונות לארבעת הקריטריונים - פונקציות חד חד ערכיות, על, רציפות ובעלות פונקציה הופכית רציפה. פונקציות שכאלו מכונות הומיאומורפיזמים ועצמים שניתן לעבור מהאחד לשני באמצעותן מכונים הומיאומורפיים. בלשון ציורית, ההבדל בין עצמים אלו הן התכונות שנשמרות גם לאחר הפעלת "עיוות", "מתיחה" ו"כיווץ" - למשל, עיגול ומרובע הם הומיאומורפיים, כי ניתן לעקם את המרובע עד לקבלת עיגול, ולהפך. לעומת זאת, צורת הספרה 8 ומעגל אינם הומיאומורפיים, כי בספרה 8 ישנם שני חורים, ובמעגל חור אחד בלבד.

9

אנליזה מתמטית היא ענף מרכזי במתמטיקה החוקר פונקציות מתמטיות ממשיות ומרוכבות.

האנליזה החלה בחקירת פונקציות ממשיות, ובפרט, פונקציות רציפות. פונקציות רציפות הן פונקציות אותן "ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף" - פונקציות שאינן נקטעות או קופצות בחדות בין ערכים. בתוך משפחת הפונקציות הרציפות מתמקדת האנליזה בפונקציות הגזירות - אלו שאין להן "שפיצים" והן חלקות - כלומר, השינויים בהן אינם מיידיים וקיצוניים. לשם כך מוגדר מושג הנגזרת. סכימה של פונקציה בדרך של מעבר גבול היא האינטגרציה. האנליזה עוסקת גם בטורים אינסופיים - סכומים אינסופיים שיכולים להיות של מספרים (ואז נשאלת השאלה האם גם סכום הטור הוא מספר) או פונקציות (ואז נשאלת השאלה מהו סוג הפונקציה אליה מתכנס הטור, אם בכלל).

רציפות, גזירות, אינטגרציה וסכימת טורים של פונקציות ממשיות - אלה חלקי האנליזה הקלאסיים. כדי להגדיר פעולות אלו במדויק יש צורך להשתמש במושג הגבול - והוא הרעיון המרכזי שמפריד בין האנליזה ליתר חלקי המתמטיקה: באנליזה יש מעברים גבוליים.

אנליזה מתקדמת מכלילה את המושגים המוכרים מפונקציות של משתנה אחד, לפונקציות מרוכבות ולפונקציות בעלות מספר משתנים.

לאנליזה המתמטית שימושים נרחבים בפיזיקה ובהנדסה.כמו כן, מהאנליזה המתמטית התפתחו ענפי מתמטיקה נוספים: משוואות דיפרנציאליות, אנליזה וקטורית, טופולוגיה דיפרנציאלית ותורת המידה.

10

תורת הקודים היא תחום במתמטיקה ובמדעי המחשב שעוסק בהעברה יעילה של מידע דרך מערכת מציאותית שיוצרת שגיאות ברצף. כאשר מעבירים מידע דרך מוליך טוב ככל שיהיה (גלי רדיו, קווי טלפון), נופלות טעויות במידע כתוצאה מרעשי רקע שנוצרים מסיבות טכניות בעיקר. שגיאה קטנה ככל שתהיה יכולה לעוות את המידע המתקבל ולהפוך אותו לחסר משמעות, או לבעל משמעות שונה מהרצוי. הבעיה קיימת מאז ומעולם גם בשפת הדיבור והכתיבה. ניתן לראות טעויות דפוס שנובעות מהחלפת אותיות כמעט בכל ספר שיוצא לשוק. בעיה זו נעשתה חריפה במיוחד בתקשורת בין מחשבים, בה שינוי של ביט אחד במסר יכול להרוס את החישוב כולו.

בתורת הקודים מפותח מושג הקוד וכן גם כלים שמאפשרים הבחנה ותיקון שגיאות במידע המתקבל.


11

תורת הקבוצות היא ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה. תורת הקבוצות מניחה את היסודות לחלקים נרחבים של המתמטיקה, כאשר מהאקסיומות שלה נובעים המשפטים הבסיסיים שעליהם חלקים אלה מתבססים. בין היתר תורת הקבוצות דנה במושג הסדר של קבוצה (הגדרה ופיתוח הנושא של סדר האיברים בקבוצה), הגודל - העוצמה שלה (מבחינה אינטואיטיבית - כמה איברים יש בקבוצה), ובבניית מערכות המספרים הבסיסיות והוכחת תכונותיהן - הטבעיים, השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים.

הענף התפתח אינטואיטיבית עם השנים על ידי מתמטיקאים חובבנים ומקצועיים כאחד, בשיטה שמאוחר יותר התגלתה כלא אמינה. הבעיה התחילה כאשר נמצאו פרדוקסים וסתירות בשלבים בסיסיים של המתמטיקה (לדוגמה הפרדוקס של ראסל). סתירות אלו נובעות מחוסר עקביות, מוסכמות ושפה אחידה, ולכן החליטו לפתח ולהגדיר את תורת הקבוצות מחדש.

  • תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
  • תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.

12

אלגברה מופשטת היא ענף של האלגברה שבמסגרתו מוגדרים ונחקרים מבנים אלגבריים כגון שדות, חבורות וחוגים. הענף נקרא כך כדי להבדילו מהאלגברה הבסיסית, הנלמדת בבתי ספר, שעוסקת במניפולציות טכניות של ביטויים ונוסחאות מתמטיות במספרים ממשיים ומרוכבים.

מבחינה היסטורית, המבנים הנחקרים באלגברה מופשטת צצו לרוב לראשונה בתחומים אחרים, ובמסגרת האלגברה זכו לאקסיומטיזציה מדויקת, ותכונותיהם נלמדו לעומק.

היתרון שבשיטת עבודה זו, הוא היכולת להשיג תוצאות כלליות, שיהיו תקפות למקרים רבים, על ידי התייחסות למספר תכונות בסיסיות המשותפות לכל אותם מקרים, תוך הזנחת המידע שאינו חיוני. לדוגמה, התהליך שבו נבנים המספרים הרציונליים מתוך המספרים השלמים הוא למעשה מקרה פרטי לבנייה של שדה מתוך חוג, ולכן ניתן לחזור עליו לכל חוג שמקיים מספר תכונות נפוצות.

שם התחום מגיע מההפשטה שמתבצעת לעצמים הנחקרים במסגרתו - רוב תכונותיהם מוזנחות, ומתייחסים אך ורק למספר תכונות בסיסיות - "אקסיומות", שמהן מופק המידע על העצמים. לאחר מכן, כל עצם מתמטי שניתן להוכיח כי הוא מקיים את האקסיומות, יקיים את כל התכונות שנמצא שנובעות מאותן אקסיומות

13

קריפטוגרפיה היא ענף במתמטיקה ובמדעי המחשב העוסק בהיבטים השונים של אבטחת מידע בכלל והצפנה בפרט. דוגמאות לנושאים שקשורים באבטחת מידע:

השם "קריפטוגרפיה" מקורו במילה היוונית "קריפטו" שמשמעותה נסתר או אמנות ההסתרה. בתרגום חופשי פירוש השם הוא תורת ההצפנה, אם כי משמעותו מקיפה יותר.

14

משוואות דיפרנציאליות הן משוואות הכוללות משתנים, פונקציות של המשתנים הללו, ונגזרות של פונקציות אלה, וכן קבועים (מספרים). הפונקציות (ונגזרותיהן) במשוואה מסומנות רק באות בודדת. פתרונה של המשוואה הוא ניסוחה המלא של הפונקציה, או הפונקציות, שהצבתן במשוואה תקיים אותה.

משוואות דיפרנציאליות הן מכמה סוגים, כאשר העיקריות הן:

באופן כללי, אין זה פשוט לפתור משוואה דיפרנציאלית, ואין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו. לעתים ניתן רק להגיע לקירוב של הפתרון אך לא לפתרון עצמו. עם זאת, עבור סוגים מסוימים של משוואות יש פתרונות שיטתיים, ועבור סוגים נוספים יש שיטות שמסייעות לעתים רבות למצוא את הפתרונות.

15

סטטיסטיקה היא תחום ידע העוסק באיסוף, ניתוח והצגת מסקנות מנתונים כמותיים חלקיים. במקרים רבים קשה לנתח את האיברים בקבוצה באופן פרטני בשל מספרם הרב, ואז אפשר להתייחס אל הנתונים כמכלול, ולנתחם ככאלה. כאשר מסתכלים על משתנה מסוים (למשל מידת גובה) והופעתו באוכלוסייה מסוימת (למשל ילדי כתה ג' בישראל), מתקבלת התפלגות של משתנה מקרי (הגובה). במקרים רבים ניתן לדגום מדגם שייצג את האוכלוסייה לצורך הסקה סטטיסטית.

הסטטיסטיקה נשענת על תורת ההסתברות והמדעים הנעזרים בה הם כימיה סטטיסטית וחלק נכבד מתחומי הביולוגיה, הרפואה ומדעי החברה. התשובה לשאלה, האם הסטטיסטיקה היא ענף במתמטיקה, שנויה במחלוקת.

הסטטיסטיקה מתחלקת לסטטיסטיקה תיאורית, שמטרתה תיאור של הנתונים על ידי אפיון ממדים שונים בהם, וסטטיסטיקה היסקית, שמטרתה הסקת מסקנות מהמדגם עליו נאספו הנתונים הסטטיסטיים לכל האוכלוסייה.

16

תורת המשחקים היא ענף של המתמטיקה והכלכלה המנתח מצבי עימות או שיתוף פעולה בין מקבלי החלטות בעלי רצונות שונים, כדוגמת המצבים המתעוררים במשחקי לוח שונים, בהם כל אחד מהשחקנים רוצה לנצח, ובפעילות כלכלית, בה כל אחד מהעוסקים שואף להגיע לרווח מקסימלי. מצבים כאלו מכונים משחקים, והמשתתפים בהם – שחקנים. חקירה של משחק מורכב מתאפשרת על ידי הפשטתו לאחד מכמה מודלים כלליים, הניתנים לניתוח מתמטי. המטרה היא "לפתור" את המשחק, כלומר, לזהות בו את דרכי הפעולה הצפויות של השחקנים או להצביע על דרכי פעולה מומלצות לשחקנים בודדים או לקבוצות של שחקנים. לניבוי נכון של התנהגות השחקנים עשויה להיות חשיבות מעשית רבה. בחירה נבונה של כללי הצבעה, למשל, צריכה להביא בחשבון את האפשרות של הצבעה טקטית (אסטרטגית), ותכנון של תשתית הכבישים צריך להביא בחשבון את בחירות המסלול של הנהגים בשעות העומס.

שיטות ומושגים מתורת המשחקים תופסים מקום של כבוד בענפי הכלכלה השונים ובמנהל עסקים ומשמשים גם במדעי חברה אחרים, כמו מדע המדינה ופסיכולוגיה, וכן במשפטים. תורת המשחקים משמשת גם בענפי ביולוגיה שונים, בעיקר בחקר התנהגות ואסטרטגיות אבולוציוניות של יצורים חיים. בשנים האחרונות גובר העניין בתורת המשחקים במדעי המחשב. התפתחות זו קשורה לחשיבותם הגוברת של רשתות מחשבים, ובמיוחד רשת האינטרנט. בציבור הכללי, המודעות הגדלה לתורת המשחקים מתבטאת בחדירה של מושגים הלקוחים מתחום זה, כמו משחק סכום אפס, לשפה המדוברת. תרמו לכך כמה ספרים פופולריים שנכתבו בזמן האחרון, ובמיוחד נפלאות התבונה, ביוגרפיה של המתמטיקאי ג'ון נאש, מחלוצי תורת המשחקים, שעובדה בשנת 2001 לסרט קולנוע מצליח.

17

תורת ההחלטות היא תחום במתמטיקה המסייע בקבלת ההחלטה הטובה ביותר לאור מידע נתון. כמעט בכל המקרים ניצבות בפני המחליט שתי בעיות:

  • אין דרך פשוטה לכמת באופן מתמטי ידע או השלכות של אירוע.
  • המידע הקיים אינו שלם ולכן יש להעריך (לרוב באופן הסתברותי) את המידע החסר.

בקבלת החלטות עוסקים באפשרויות לקבל החלטה (Actions או Alternatives) כאשר לכל החלטה יש משמעויות (Consequences).

תחום זה, כמו חקר ביצועים ותורת המשחקים, פותח בזמן מלחמת העולם השנייה (למרות שעסקו בו גם לפני כן) ובמשך המלחמה הקרה. כיום משמשים מודלים בקבלת החלטות לקבלת החלטות בתחומים רבים כמו רפואה, כלכלה ומדעי המחשב בניסיון לפתח מערכות שיסייעו בקבלת החלטות.

18

גאומטריה אלגברית היא הענף במתמטיקה העוסק בשילוב של אלגברה מופשטת (בעיקר אלגברה קומוטטיבית) עם גאומטריה. גאומטריה אלגברית עוסקת בלימוד אוסף הפיתרונות של מערכת משוואות פולינומיליות. כאשר ישנו יותר ממשתנה אחד, שיקולים גאומטרים הופכים להיות חשובים לצורך הבנת התופעות השונות המתרחשות. הגאומטריה האלגברית עוסקת לרוב בניסיון להבין את מכלול הפתרונות של משוואות פולינומיליות, ולרוב אינה עוסקת בחיפוש פתרון מסוים. ענף הגאומטריה האלגברית הוא אחד העמוקים ביותר בכל המתמטיקה, הן מבחינה רעיונית, והן מבחינת הטכניקות שמשתמשים בהן בתחום.

19

אלגברה לינארית היא ענף של האלגברה העוסק בחקר התכונות של וקטורים, מרחבים וקטוריים (או באופן יותר כללי מודולים), מטריצות, טרנספורמציות לינאריות ומערכות של משוואות לינאריות. תחילתה של האלגברה הלינארית במחקר וקטורים במרחב האוקלידי הדו והתלת ממדי, כאשר הם מיוצגים בצורה קרטזית. האלגברה הלינארית המודרנית הכלילה מרחבים אלו למרחבים בעלי מספר שרירותי של ממדים, ואפילו מספר אינסופי של ממדים. רוב התוצאות המועילות מהמקרה הדו והתלת ממדי ניתנות להכללה למספר כלשהו של ממדים.

השלב הבא בהכללה מגיע מתחום האלגברה המופשטת. אף שהמרחבים הווקטורים הוגדרו במקור מעל המספרים הממשיים או המרוכבים (כלומר, כסדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים), אין הכרח בכך, וניתן לחשוב על וקטורים שמוגדרים גם מעל קבוצות בעלות תכונות דומות לאלו של המספרים הממשיים - שיש בהן מושגים של חיבור וכפל שמקיימים מספר תכונות בסיסיות (כמו חוק החילוף וחוק הפילוג). קבוצות כאלו מכונות שדות.

מרחבים וקטוריים הם נושא מרכזי במתמטיקה, ולכן נעשה שימוש נרחב באלגברה לינארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית. כמו כן נעשה שימוש באלגברה לינארית במסגרת מדעי החברה ומדעי הטבע. פעמים רבות במתמטיקה כאשר נתקלים בבעיות קשות מנסים לקרב אותן באמצעות תיאור לינארי של הבעיה, ולפתור את הקירוב באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הלינארית. כך למשל מושג הדיפרנציאביליות בחשבון אינפיניטסימלי עוסק ביכולת לקרב את התנהגותה של פונקציה בנקודה מסוימת על ידי טרנספורמציה לינארית.

20

טריגונומטריהיוונית trigōnon "משולש" + metron "מדידה") היא ענף במתמטיקה העוסק בקשר שבין זוויות וצלעות. את הקשרים האלו מאפיינים על ידי הפונקציות הטריגונומטריות, כאשר רוב העיסוק בתחום מתמקד באפיון תכונותיהן. הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות הן הסינוס והקוסינוס. לטריגונומטריה שימושים רבים במתמטיקה, הן בממתטיקה טהורה והן במתמטיקה שימושית, ובתחומים רבים במדעי הטבע והטכנולוגיה.

21

תורת המספרים היא ענף של המתמטיקה העוסק בתחום רחב של נושאים, ששורשיהם בחקר התכונות של המספרים הטבעיים .

בעיות רבות בתורת המספרים הן קלות לניסוח אך קשות מאד לפתרון, וענפים נכבדים במתמטיקה מודרנית פותחו תוך ניסיון לפתור בעיות מסוג זה. דוגמאות ידועות הן המשפט האחרון של פרמה, השערת גולדבך (כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים), השערת הראשוניים התאומים (שלפיה יש אינסוף זוגות של ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2) והשערת מספרי מרסן הראשוניים (שלפיה יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים וכתוצאה ומכאן שיש אינסוף מספרים משוכללים).

תורת המספרים זכתה לפריחה ביוון הקדומה, במיוחד בעבודותיהם של פיתגורס, אוקלידס ודיופנטוס. תורמים בולטים לפיתוחו של ענף זה בעת החדשה הם פרמה, אוילר וגאוס.


22

קומבינטוריקה היא ענף במתמטיקה בדידה, העוסק בספירתם של עצמים בקבוצות סופיות המקיימות קריטריון מסוים, בהחלטה האם קיימים עצמים "אופטימליים" בקבוצות כאלה ובמציאת מבנה אלגברי משותף לעצמים אלו.

לקומבינטוריקה שימושים רבים בתחומי המתמטיקה השונים, כמו: אלגברה והסתברות. כמו כן, נעשה שימוש נרחב בכלים קומבינטורים במדעי המחשב ובסטטיסטיקה.

23

תורת הכאוס הוא ענף במתמטיקה ובפיזיקה המתאר התנהגות של מערכות דינמיות שמגלות רגישות גבוהה לשינויים קטנים בתנאי התחלה. המושג כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק. בניגוד למה שהשם מרמז, התנהגות כאוטית אינה התנהגות בה יש אי סדר מוחלט. התנהגות כאוטית היא חסומה, כלומר מוגבלת לאירועים מסוימים, והמערכת שואפת למושך - אוסף יציב של מצבים.

החידוש הגדול בתורת הכאוס היה שהיא הראתה שגם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות יש מצבים בהן התנהגותן לא ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, כי לשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי. תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר". דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.

זמינותם של מחשבים זולים וחזקים יותר מאפשרת יישום רחב יותר של תאוריית הכאוס וכיום תורת הכאוס היא תחום מחקר פעיל ביותר.

24

חישוביות היא הבסיס למדעי המחשב, והיא עוסקת במודלים לחישוב ובפונקציות הניתנות לחישוב במסגרתם.

בניגוד להנחה נפוצה, ישנן פונקציות שאי אפשר לחשב. בעיית העצירה מהווה דוגמה לפונקציה שכזו: ניתן להוכיח כי אין תוכנית היכולה לקבל כקלט תוכנית כלשהי והקלט לאותה התוכנית, ולקבוע האם התוכנית תעצור.

במסגרת תאוריית החישוביות נבחנות תכונותיהם של מודלים חישוביים שונים, על ידי בדיקת מחלקת הפונקציות שניתן לחשב במודל, ושקילותה למחלקת הפונקציות של מודל אחר. ההיררכיה של חומסקי מתארת היררכיית מחלקות הניתנות לחישוב במודלים שונים, כך שלכל מחלקת פונקציות בהיררכיה מתאימים מודלים רבים, אשר שקולים זה לזה בכוחם החישובי - חישוב שניתן לבצע באחד מהמודלים ניתן לבצע גם באחרים.

אחד המודלים הראשונים שנוצרו הוא מכונת טיורינג, אשר מהווה אבן דרך בתורת החישוביות כולה, בשל פשטותו ודמיונו למחשב (שטרם הומצא בעת יצירת מודל זה). מודל אחר הוא זה של תחשיב למדא. הוכח ששני מודלים אלה, ומודלים רבים נוספים אחרים שהוצעו, שקולים זה לזה. מודלים אלה שקולים גם למחשב, אם נניח קיומו של זיכרון בלתי מוגבל בגודלו. תזת צ'רץ'-טיורינג משערת שכל פורמליזציה סבירה של מושג האלגוריתם תהיה שקולה למכונת טיורינג.

25

גאומטריה דיפרנציאלית היא ענף מתמטי העושה שימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי כדי לבחון בעיות בגאומטריה. הענף פותח לראשונה במאות ה-18 וה-19 על בסיס התאוריה של עקומות במישור ובמרחב והתאוריה של משטחים במרחבים אוקלידים תלת-ממדיים. מאז סוף המאה ה-19, גאומטריה דיפרנציאלית עוסקת בעיקר במבנים גאומטרים על יריעות דיפרנציאליות. הגאומטריה הדיפרנציאלית קשורה במובנים רבים לענף טופולוגיה דיפרנציאלית ולהיבטים הגאומטריים של תורת המשוואות הדיפרנציאליות. גריגורי פרלמן, שהשתמש בזרימת ריצ'י כדי להוכיח את השערת פואנקרה, סיפק דוגמה אקטואלית לכוחה של הגאומטריה הדיפרנציאלית בפתירת שאלות בטופולוגיה והדגים את חשיבותן של השיטות האנלטיות.


26

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/26

27

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/27

28

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/28

29

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/29

30

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/30

31

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/31

32

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/32

33

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/33

34

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/34

35

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/35

36

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/36

37

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/37

38

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/38

39

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/39

40

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/40

41

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/41

42

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/42

43

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/43

44

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/44

45

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/45

46

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/46

47

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/47

48

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/48

49

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/49

50

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/50

51

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/51

52

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/52

53

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/53

54

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/54

55

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/55

56

פורטל:מתמטיקה/תחום נבחר/56